Lembrando do Teorema de Convolução,
Lf * g=Lf(t) Lg(t)
e de sua forma inversa,
L^-1Lf(t) cdot Lg(t)=f * g,
calcule
© L^-1s(s^2+9)^2

Passo 1

Estamos procurando a transformada inversa de s(s^2+9)^2 usando o teorema da convolução: se F(s)=Lf(t) e G(s)=Lg(t), então L^-1F(s)G(s)=f*g.

Passo 2

Decompomos o sinal no domínio de s como o produto de duas transformadas conhecidas:
s(s^2+9)^2=underbracess^2+9F(s)cdotunderbrace1s^2+9G(s)

Passo 3

Reconhecemos que
F(s)=ss^2+9;Longrightarrow;f(t)=cos(3t), G(s)=1s^2+9;Longrightarrow;g(t)=13sin(3t)

Passo 4

Pelo teorema da convolução,
(f*g)(t)=integral0^t f(tau),g(t-tau),dtau=13integral0^tcos(3tau),sinl(3(t-tau)r),dtau

Passo 5

Para calcular essa integral, usamos as identidades trigonométricas
sin(3(t-tau))=sin(3t)cos(3tau)-cos(3t)sin(3tau),
e então integramos separadamente cos^2(3tau) e cos(3tau)sin(3tau). Após aplicar os limites e combinar termos, tudo se simplifica em
tsin(3t)6

Resposta

tsin(3t)6

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