Seja
um campo vetorial contínuo em uma superfície compacta
. Suponha que
é de classe
algum aberto do
que contém
. Use o teorema de Stokes para mostrar que,
onde
é o disco de raio
com centro
contido no plano perpendicular ao vetor unitário
(e orientado por este).
Passo 1
O exercício pede para mostrar que para um campo vetorial contínuo
de classe
em um aberto de
contendo
, vale
lim_{r\to0}\frac{1}{\mathrm{Area}(D_r)}\oint_{\partial D_r}F\cdot T,ds=(\rot F)(X_0)\cdot N_0.
O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema de Stokes aplicado a um disco pequeno e a continuidade de .
Passo 2
Aplicação do Teorema de Stokes: orientando o contorno
segundo a regra da mão direita para o vetor normal
, temos
Essa igualdade transforma a circulação de
ao longo de
na integral da componente normal de sobre o disco.
Passo 3
Aproximação pelo valor em
: como
é de classe
, a função é contínua em
. Logo, em
podemos escrever
com
quando
. Daí
Dividindo ambos os lados por
e levando
, o termo com
desaparece, restando
Resposta
(\rot F)(X_0)\cdot N_0