Seja F um campo vetorial contínuo em uma superfície compacta S. Suponha que F é de classe C^1 em algum aberto do R^3 que contém X0. Use o teorema de Stokes para mostrar que,
lim r 0 1Dr ointpartial(Dr) F cdot T d s=rot F(X0) cdot N0
onde Dr é o disco de raio r com centro X0 contido no plano perpendicular ao vetor unitário N0 (e orientado por este).

Passo 1

O exercício pede para mostrar que para um campo vetorial contínuo F de classe C^1 em um aberto de R^3 contendo X0, vale
lim_{r\to0}\frac{1}{\mathrm{Area}(D_r)}\oint_{\partial D_r}F\cdot T,ds=(\rot F)(X_0)\cdot N_0.
O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema de Stokes aplicado a um disco pequeno e a continuidade de .

Passo 2

Aplicação do Teorema de Stokes: orientando o contorno partial Dr segundo a regra da mão direita para o vetor normal N0, temos
Essa igualdade transforma a circulação de ointpartial DrFcdot T,ds=integralDr(rot F)cdot N0,dS ao longo de F na integral da componente normal de sobre o disco.

Passo 3

Aproximação pelo valor em X0: como F é de classe C^1, a função é contínua em Xmapsto(rot F)(X)cdot N0. Logo, em X0 podemos escrever
com Dr quando (rot F)(X)cdot N0=(rot F)(X0)cdot N0+varepsilonr, . Daí
Dividindo ambos os lados por varepsilonrto0 e levando rto0, o termo com integralDr(rot F)cdot N0,dS=(rot F)(X0)cdot N0,Area(Dr)+varepsilonr,Area(Dr) desaparece, restando

Resposta

(\rot F)(X_0)\cdot N_0

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