Sejam f, g: R R funções tais que g(x)=2 x-3 e (f circ g)(x)= 2 x^2-4 x+1. Determine a expressão que define a função f.

Passo 1

O enunciado dá duas funções reais: g(x)=2x−3 e a composição (f∘g)(x)=2x²−4x+1. Precisamos achar f de modo que f(g(x)) seja igual ao polinômio dado, ou seja, é um exercício de composição e inversão de g.

Passo 2

Para

Passo 3

Determinar f(u) em função de u, seja u=g(x). Temos u=2x−3, daí x=(u+3)/2. Como f(g(x))=f(u), basta reescrever 2x²−4x+1 em termos de u substituindo x=(u+3)/2.

Passo 4

Substituindo x na expressão de f(g(x)) temos:
f(u)=2l(u+32r)^2 -4l(u+32r)+1
Agora é só simplificar:
f(u)=2(u+3)^24 -2(u+3)+1=(u+3)^22 -2u -6+1=u^2+6u+9 -4u -102=u^2+2u -12

Resposta

A função f é dada por
f(x)=x^22+x-12

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