Lembre-se que a aplicação
definida por
, para todo
recebe o nome de aplicação identidade em
. Verifique se
para cada um dos seguintes pares de aplicações, ou seja, mostre que
, para todo
.
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A função
é definida por para todo . - A função
é definida por para todo . - O conjunto é
.
O que se pede: verificar se
, isto é, mostrar que
para todo
.
Passo 2
Definições e ideia do procedimento (sem resolver ainda):
- A composição
é a função dada por
para cada
no domínio comum (aqui
).
- A aplicação identidade
em é definida por
para todo
.
Portanto, para verificar
basta calcular
e simplificar, mostrando que o resultado é igual a
para qualquer
.
Passo 3
Calcule a composição substituindo
em
:
Passo 4
Agora aplique a definição de
ao argumento
:
Passo 5
Use a propriedade da raiz cúbica para números reais: para qualquer número real
vale
, porque a função
é bijetora em
e sua inversa é
. Aplicando com
obtém-se
Substituindo na expressão do passo anterior resulta
Passo 6
Conclui-se, a partir das contas acima, que para todo
a composição satisfaz a igualdade requerida.