Lembre-se que a aplicação 1_{X}: X \rightarrow X definida por 1_{X}(x)=x, para todo x \in X recebe o nome de aplicação identidade em X. Verifique se g \circ f=1_{X} para cada um dos seguintes pares de aplicações, ou seja, mostre que (g \circ f)(x)=x, para todo x \in X.
f(x)=(x+1)^{1 / 3}, g(x)=x^{3}-1, X=\mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A função f é definida por f(x)=(x+1)^{1/3} para todo x\in\mathbb{R}.
  • A função g é definida por g(x)=x^{3}-1 para todo x\in\mathbb{R}.
  • O conjunto é X=\mathbb{R}.
O que se pede: verificar se g\circ f=1_{X}, isto é, mostrar que (g\circ f)(x)=x para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Definições e ideia do procedimento (sem resolver ainda):
  • A composição g\circ f é a função dada por
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)
para cada x no domínio comum (aqui \mathbb{R}).
  • A aplicação identidade 1_{X} em X=\mathbb{R} é definida por
1_{X}(x)=x
para todo x\in\mathbb{R}.
Portanto, para verificar g\circ f=1_{X} basta calcular g(f(x)) e simplificar, mostrando que o resultado é igual a x para qualquer x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Calcule a composição substituindo f(x) em g:
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)=g\bigl((x+1)^{1/3}\bigr).

Passo 4

Agora aplique a definição de g ao argumento (x+1)^{1/3}:
g\bigl((x+1)^{1/3}\bigr)=\bigl((x+1)^{1/3}\bigr)^{3}-1.

Passo 5

Use a propriedade da raiz cúbica para números reais: para qualquer número real a vale \bigl(a^{1/3}\bigr)^{3}=a, porque a função t\mapsto t^{3} é bijetora em \mathbb{R} e sua inversa é t\mapsto t^{1/3}. Aplicando com a=x+1 obtém-se
\bigl((x+1)^{1/3}\bigr)^{3}=x+1.
Substituindo na expressão do passo anterior resulta
\bigl((x+1)^{1/3}\bigr)^{3}-1=(x+1)-1=x.

Passo 6

Conclui-se, a partir das contas acima, que para todo x\in\mathbb{R} a composição satisfaz a igualdade requerida.

Resposta

(g\circ f)(x)=x para todo x\in\mathbb{R}, ou seja, g\circ f=1_{X}.

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