Sejam
uma aplicação e
, sabemos que
. Para
, mostre que:
Se
, então
Se
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação
e dois subconjuntos
. Pede para mostrar que, se
, então
Informações relevantes fornecidas:
-
é uma função de em . - Para qualquer conjunto
, . - A hipótese é
(ou seja, todo elemento de também pertence a ).
O que se pede: provar a inclusão entre os pré-imagens dos conjuntos, isto é, provar que todo elemento depertence a .
Passo 2
Relembrando definições e a estratégia padrão de prova de inclusão:
- Definição de pré-imagem: para
,
Aqui
é a imagem do elemento
pela função
.
- Definição de inclusão entre conjuntos: provar
consiste em mostrar que, tomando um elemento arbitrário , conclui-se .
Portanto a estratégia será: pegar umarbitrário em e mostrar que nesse caso necessariamente .
Passo 3
Começo a prova com um elemento arbitrário.
Seja um elemento arbitrário tal que
Seja
Pelo significado de pré-imagem, isso significa que
Aqui estou apenas traduzindo a condição
usando a definição de
.
Passo 4
Usar a hipótese
.
Como foi dado que , todo elemento de
também pertence a
. Em particular, como
, segue que
Como foi dado que
Passo 5
Concluir que
.
Pela definição de pré-imagem, a condição é exatamente a condição necessária para que
. Logo obtém-se
Pela definição de pré-imagem, a condição
Passo 6
Concluir a inclusão para todo elemento arbitrário.
Mostramos que qualquer arbitrário em
pertence a
. Portanto, por definição de inclusão de conjuntos,
Mostramos que qualquer
Observação prática e motivadora: não usamos nada sobre
ser injetora ou sobrejetora — a propriedade vale para qualquer função. Isso é útil para lembrar na prova ou na prova oral: a pré-imagem preserva inclusões.