Sejam f: X \rightarrow Y uma aplicação e B \subseteq Y, sabemos que f^{-1}(B)=\{x \in X ; f(x) \in B\}. Para B_{1}, B_{2} \subseteq Y, mostre que:
Se B_{1} \subset B_{2}, então f^{-1}\left(B_{1}\right) \subset f^{-1}\left(B_{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação f: X \to Y e dois subconjuntos B_{1},B_{2} \subseteq Y. Pede para mostrar que, se B_{1} \subset B_{2}, então
f^{-1}\!\left(B_{1}\right) \subset f^{-1}\!\left(B_{2}\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • f é uma função de X em Y.
  • Para qualquer conjunto B \subseteq Y, f^{-1}(B)=\{x\in X \mid f(x)\in B\}.
  • A hipótese é B_{1}\subset B_{2} (ou seja, todo elemento de B_{1} também pertence a B_{2}).
    O que se pede: provar a inclusão entre os pré-imagens dos conjuntos, isto é, provar que todo elemento de f^{-1}(B_{1}) pertence a f^{-1}(B_{2}).

Passo 2

Relembrando definições e a estratégia padrão de prova de inclusão:
  • Definição de pré-imagem: para B\subseteq Y,
f^{-1}(B)=\{x\in X \mid f(x)\in B\}.
Aqui f(x) é a imagem do elemento x\in X pela função f.
  • Definição de inclusão entre conjuntos: provar A\subset C consiste em mostrar que, tomando um elemento arbitrário a\in A, conclui-se a\in C.
    Portanto a estratégia será: pegar um x arbitrário em f^{-1}(B_{1}) e mostrar que nesse caso necessariamente x\in f^{-1}(B_{2}).

Passo 3

Começo a prova com um elemento arbitrário.
Seja x um elemento arbitrário tal que
x\in f^{-1}(B_{1}).
Pelo significado de pré-imagem, isso significa que
f(x)\in B_{1}.
Aqui estou apenas traduzindo a condição x\in f^{-1}(B_{1}) usando a definição de f^{-1}.

Passo 4

Usar a hipótese B_{1}\subset B_{2}.
Como foi dado que B_{1}\subset B_{2}, todo elemento de B_{1} também pertence a B_{2}. Em particular, como f(x)\in B_{1}, segue que
f(x)\in B_{2}.

Passo 5

Concluir que x\in f^{-1}(B_{2}).
Pela definição de pré-imagem, a condição f(x)\in B_{2} é exatamente a condição necessária para que x\in f^{-1}(B_{2}). Logo obtém-se
x\in f^{-1}(B_{2}).

Passo 6

Concluir a inclusão para todo elemento arbitrário.
Mostramos que qualquer x arbitrário em f^{-1}(B_{1}) pertence a f^{-1}(B_{2}). Portanto, por definição de inclusão de conjuntos,
f^{-1}(B_{1}) \subset f^{-1}(B_{2}).
Observação prática e motivadora: não usamos nada sobre f ser injetora ou sobrejetora — a propriedade vale para qualquer função. Isso é útil para lembrar na prova ou na prova oral: a pré-imagem preserva inclusões.

Resposta

f^{-1}\left(B_{1}\right) \subset f^{-1}\left(B_{2}\right)

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