Lembre-se que a aplicação
definida por
, para todo
recebe o nome de aplicação identidade em
. Verifique se
para cada um dos seguintes pares de aplicações, ou seja, mostre que
, para todo
.
.
Passo 1
O enunciado dá duas aplicações e o conjunto
e pede para verificar se a composição
é a aplicação identidade em
. Informações dadas:
-
definida por para todo . -
definida por para todo . -
.
O que precisamos mostrar: quepara todo , isto é, .
Passo 2
Lembrando o que significa cada coisa (para ficar bem claro):
- A aplicação identidade
é dada por para todo . - A composição
é a aplicação definida por . Ou seja, primeiro aplica-se em e depois aplica-se ao resultado.
Para provar quedevemos pegar um qualquer em , calcular e mostrar que o resultado é exatamente .
Passo 3
Escrevendo explicitamente
. Temos, por definição,
onde
é um número real qualquer. Aqui
é o valor que sai de
quando a entrada é
.
Passo 4
Escrevendo explicitamente
. A definição é
onde usei a letra auxiliar
para indicar a variável de entrada de
. Isso significa que, se a entrada for um número
, a saída será
.
Passo 5
Agora aplicamos
ao valor
. Substituímos
na fórmula de
; assim
Aqui é só substituir a expressão encontrada para
.
Passo 6
Substituindo
na expressão anterior e simplificando passo a passo:
Calcule dentro dos parênteses:
portanto
A simplificação
vale para todo
.
Passo 7
Concluímos que, para todo
,
Isto mostra exatamente que
coincide com a aplicação identidade
em
. Bom trabalho — mesmo parecendo simples, fazer cada substituição com calma evita erros na prova!