Lembre-se que a aplicação 1_{X}: X \rightarrow X definida por 1_{X}(x)=x, para todo x \in X recebe o nome de aplicação identidade em X. Verifique se g \circ f=1_{X} para cada um dos seguintes pares de aplicações, ou seja, mostre que (g \circ f)(x)=x, para todo x \in X.
f(x)=2 x-1, g(x)=\frac{1}{2}(x+1), X=\mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá duas aplicações e o conjunto X e pede para verificar se a composição g\circ f é a aplicação identidade em X. Informações dadas:
  • f:X\to X definida por f(x)=2x-1 para todo x\in X.
  • g:X\to X definida por g(x)=\dfrac{1}{2}(x+1) para todo x\in X.
  • X=\mathbb{R}.
    O que precisamos mostrar: que (g\circ f)(x)=x para todo x\in\mathbb{R}, isto é, g\circ f=1_{X}.

Passo 2

Lembrando o que significa cada coisa (para ficar bem claro):
  • A aplicação identidade 1_{X}:X\to X é dada por 1_{X}(x)=x para todo x\in X.
  • A composição g\circ f é a aplicação definida por (g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big). Ou seja, primeiro aplica-se f em x e depois aplica-se g ao resultado.
    Para provar que g\circ f=1_{X} devemos pegar um x qualquer em \mathbb{R}, calcular g(f(x)) e mostrar que o resultado é exatamente x.

Passo 3

Escrevendo explicitamente f(x). Temos, por definição,
f(x)=2x-1,
onde x é um número real qualquer. Aqui f(x) é o valor que sai de f quando a entrada é x.

Passo 4

Escrevendo explicitamente g. A definição é
g(t)=\frac{1}{2}\big(t+1\big),
onde usei a letra auxiliar t para indicar a variável de entrada de g. Isso significa que, se a entrada for um número t, a saída será \tfrac{1}{2}(t+1).

Passo 5

Agora aplicamos g ao valor f(x). Substituímos t=f(x) na fórmula de g; assim
(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)=\frac{1}{2}\big(f(x)+1\big).
Aqui é só substituir a expressão encontrada para f(x).

Passo 6

Substituindo f(x)=2x-1 na expressão anterior e simplificando passo a passo:
(g\circ f)(x)=\frac{1}{2}\big((2x-1)+1\big).
Calcule dentro dos parênteses:
(2x-1)+1=2x,
portanto
(g\circ f)(x)=\frac{1}{2}\cdot 2x = x.
A simplificação \dfrac{1}{2}\cdot 2x = x vale para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 7

Concluímos que, para todo x\in\mathbb{R},
(g\circ f)(x)=x.
Isto mostra exatamente que g\circ f coincide com a aplicação identidade 1_{X} em X=\mathbb{R}. Bom trabalho — mesmo parecendo simples, fazer cada substituição com calma evita erros na prova!

Resposta

(g\circ f)(x)=x,\\ \forall x\in\mathbb{R}

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