Considere a seguinte lei de formação
dada por
. Por que
não é uma aplicação?
Passo 1
O enunciado dá uma “lei de formação”
definida por
. O domínio é
(números racionais), o contradomínio é
(inteiros) e a regra usa uma escrita do racional como
(com
,
). A pergunta é: por que
não é uma aplicação (isto é, por que não é uma função bem-definida de
em
)?
Passo 2
Primeiro é preciso lembrar o que significa ser uma aplicação/função. Uma regra
é uma aplicação de
em
se, para todo elemento
, existe exatamente um valor
. Em outras palavras: cada elemento do domínio tem uma e só uma imagem. Quando uma regra é dada usando representações (como escrever um racional como
), devemos verificar que a imagem não depende da representação escolhida — isto é, a regra deve ser bem-definida em classes de equivalência das frações.
Passo 3
Vamos entender a ambiguidade das representações de um racional. Dois pares
e
representam o mesmo racional se e somente se
Isso significa que o mesmo número racional pode ser escrito de maneiras diferentes (por exemplo
, etc.). Para que
esteja bem-definida, toda vez que
devemos ter necessariamente
. Se existir alguma igualdade
com
, então
atribui dois valores diferentes ao mesmo racional, e assim não é uma aplicação.
Passo 4
Mostramos um contraexemplo explícito e simples. Considere o racional
. Ele tem pelo menos duas representações:
Aplique a regra dada:
Portanto a mesma entrada (o racional
) recebe duas imagens distintas (
e
). Isso viola a unicidade exigida para uma aplicação.
Passo 5
Conclusão do raciocínio didático: a definição
depende da representação do racional como fração e não é invariantes nas classes de equivalência de frações. Por isso
não é bem-definida em
e, portanto, não é uma aplicação
.
Passo 6
Observações práticas para a prova / como consertar a regra (dica útil): para tornar uma regra desse tipo em uma aplicação é preciso dar uma regra que não dependa da representação. Duas abordagens comuns:
- Escolher uma representação canônica (por exemplo escrever cada racional na forma irredutível
com e ) e definir em termos dessa forma única; ou - Definir
sobre pares ordenados (não sobre ), aí é bem-definida nesse domínio diferente.
Essas ideias mostram por que a questão da “bem-definição” é crucial quando se trabalha com representações equivalentes.
Resposta
Não é aplicação porque não é bem-definida: a mesma fração pode ter representações diferentes que dão somas diferentes; por exemplo
mas
.