Considere a seguinte lei de formação f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Z} dada por f(a / b)=a+b. Por que f não é uma aplicação?

Passo 1

O enunciado dá uma “lei de formação” f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Z} definida por f(a/b)=a+b. O domínio é \mathbb{Q} (números racionais), o contradomínio é \mathbb{Z} (inteiros) e a regra usa uma escrita do racional como \,a/b (com a,b\in\mathbb{Z}, b\neq0). A pergunta é: por que f não é uma aplicação (isto é, por que não é uma função bem-definida de \mathbb{Q} em \mathbb{Z})?

Passo 2

Primeiro é preciso lembrar o que significa ser uma aplicação/função. Uma regra f é uma aplicação de \mathbb{Q} em \mathbb{Z} se, para todo elemento q\in\mathbb{Q}, existe exatamente um valor f(q)\in\mathbb{Z}. Em outras palavras: cada elemento do domínio tem uma e só uma imagem. Quando uma regra é dada usando representações (como escrever um racional como a/b), devemos verificar que a imagem não depende da representação escolhida — isto é, a regra deve ser bem-definida em classes de equivalência das frações.

Passo 3

Vamos entender a ambiguidade das representações de um racional. Dois pares (a,b) e (c,d) representam o mesmo racional se e somente se
\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\quad\Longleftrightarrow\quad ad=bc.
Isso significa que o mesmo número racional pode ser escrito de maneiras diferentes (por exemplo 1=\tfrac{1}{1}=\tfrac{2}{2}=\tfrac{3}{3}, etc.). Para que f esteja bem-definida, toda vez que \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} devemos ter necessariamente a+b=c+d. Se existir alguma igualdade \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} com a+b\neq c+d, então f atribui dois valores diferentes ao mesmo racional, e assim não é uma aplicação.

Passo 4

Mostramos um contraexemplo explícito e simples. Considere o racional 1. Ele tem pelo menos duas representações:
1=\frac{1}{1}\quad\text{e}\quad 1=\frac{2}{2}.
Aplique a regra dada:
f\!\left(\frac{1}{1}\right)=1+1=2, \qquad f\!\left(\frac{2}{2}\right)=2+2=4.
Portanto a mesma entrada (o racional 1) recebe duas imagens distintas ( 2 e 4). Isso viola a unicidade exigida para uma aplicação.

Passo 5

Conclusão do raciocínio didático: a definição f(a/b)=a+b depende da representação do racional como fração e não é invariantes nas classes de equivalência de frações. Por isso f não é bem-definida em \mathbb{Q} e, portanto, não é uma aplicação \mathbb{Q}\to\mathbb{Z}.

Passo 6

Observações práticas para a prova / como consertar a regra (dica útil): para tornar uma regra desse tipo em uma aplicação é preciso dar uma regra que não dependa da representação. Duas abordagens comuns:
  • Escolher uma representação canônica (por exemplo escrever cada racional na forma irredutível p/q com q>0 e \gcd(p,q)=1) e definir f em termos dessa forma única; ou
  • Definir F sobre pares ordenados (a,b)\in\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus\{0\}) (não sobre \mathbb{Q}), aí F(a,b)=a+b é bem-definida nesse domínio diferente.
    Essas ideias mostram por que a questão da “bem-definição” é crucial quando se trabalha com representações equivalentes.

Resposta

Não é aplicação porque não é bem-definida: a mesma fração pode ter representações diferentes que dão somas diferentes; por exemplo 1=\tfrac{1}{1}=\tfrac{2}{2} mas f(\tfrac{1}{1})=2\neq4=f(\tfrac{2}{2}).

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