Lembre que a área do paralelogramo de vértices
(0,0) A=(t+53,157) B=(t, t+76)
A+B=(2 t+53, t+233)
é dado pelo determinante
f(x)=det(
t+53 157
t t+76
)
Qual o valor mínimo da área deste paralelogramo?
(0,0) A=(t+53,157) B=(t, t+76)
A+B=(2 t+53, t+233)
é dado pelo determinante
f(x)=det(
t+53 157
t t+76
)
Qual o valor mínimo da área deste paralelogramo?
Passo 1
O enunciado pede pra minimizar a área de um paralelogramo cujos vértices são (0,0), A=(t+53,157), B=(t,t+76) e A+B, usando a fórmula de determinante. O conteúdo é aplicação de determinante 2×2 e otimização de uma função quadrática.
Passo 2
A área (sem o valor absoluto, já que depois veremos que a função é sempre positiva) é dada por
que vem do fato de que a área de um paralelogramo formado por vetores A e B é |det(A,B)|.
Passo 3
Expandindo esse determinante, a gente tem
Perceba que isso é uma função quadrática.
Passo 4
Como o coeficiente de
é positivo, a parábola abre pra cima e atinge mínimo no vértice
. Aqui
e
, logo
Passo 5
Substituindo
em
dá
Passo 6
Como
nunca fica negativa (o discriminante é negativo), concluímos que a área mínima vale 3832.
Resposta
3832