Lembre que a área do paralelogramo de vértices
(0,0) A=(t+53,157) B=(t, t+76)
A+B=(2 t+53, t+233)
é dado pelo determinante
f(x)=det(
t+53 157
t t+76
)
Qual o valor mínimo da área deste paralelogramo?

Passo 1

O enunciado pede pra minimizar a área de um paralelogramo cujos vértices são (0,0), A=(t+53,157), B=(t,t+76) e A+B, usando a fórmula de determinante. O conteúdo é aplicação de determinante 2×2 e otimização de uma função quadrática.

Passo 2

A área (sem o valor absoluto, já que depois veremos que a função é sempre positiva) é dada por
f(t)=dett+53 & 157 t & t+76
que vem do fato de que a área de um paralelogramo formado por vetores A e B é |det(A,B)|.

Passo 3

Expandindo esse determinante, a gente tem
f(t)=(t+53)(t+76)-157,t = t^2 +129t +4028 -157t = t^2 -28t +4028
Perceba que isso é uma função quadrática.

Passo 4

Como o coeficiente de t^2 é positivo, a parábola abre pra cima e atinge mínimo no vértice t^*= -b2a. Aqui a=1 e b=-28, logo
t^*=282=14

Passo 5

Substituindo t=14 em f(t)
f(14)=14^2 -28cdot14 +4028 =196 -392 +4028 =3832

Passo 6

Como f(t) nunca fica negativa (o discriminante é negativo), concluímos que a área mínima vale 3832.

Resposta

3832

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