Q10 Calcule o limite, usando series de potencias para arctan y, sin y e cos y
lim y 0 arctan y-sin yy^3 cos y

Passo 1

Nesse exercício a gente vai calcular o limite limyto0arctan y - sin yy^3cos y. O conteúdo é séries de potências (Maclaurin) para arctan y, sin y e cos y, e vamos precisar das expansões até termos que gerem potências de ordem y^3.

Passo 2

A técnica é desenvolver cada função em série de Maclaurin até a ordem necessária. Essas séries são as seguintes:
arctan y = y - y^33 + O(y^5)
sin y = y - y^36 + O(y^5)
cos y = 1 - y^22 + O(y^4)

Passo 3

Agora substituímos as expansões no numerador arctan y - sin y. Temos
arctan y - sin y = l(y - y^33 + O(y^5)r) - l(y - y^36 + O(y^5)r)
Ao simplificar, os termos y se cancelam e sobra
arctan y - sin y = -y^33 + y^36 + O(y^5) = -y^36 + O(y^5)

Passo 4

Em seguida, o denominador é y^3cos y. Substituindo a série de cos y temos
y^3cos y = y^3l(1 - y^22 + O(y^4)r) = y^3 - y^52 + O(y^7)

Passo 5

Por fim, o quociente fica
arctan y - sin yy^3cos y = -y^36 + O(y^5)y^3l(1 - y^22 + O(y^4)r)
E como O(y^5)/y^3 = O(y^2) e limyto0(1 - tfracy^22 + O(y^4)) = 1, o limite é simplesmente o coeficiente principal:
limyto0arctan y - sin yy^3cos y = -16

Resposta

-\frac{1}{6}

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