Seja
r(x) o resto da divisão de
x9874+27x-2025
por
x2-x+1. Qual é a derivada
dr/dx?

Passo 1

O enunciado pede para achar a derivada de r(x), onde r(x) é o resto da divisão de P(x)=x^9874+27x-2025 pelo polinômio Q(x)=x^2 - x + 1. O assunto envolve restos de divisão de polinômios e redução de potências usando relações algébricas.

Passo 2

Como o divisor Q(x) tem grau 2, o resto da divisão será um polinômio de grau menor que 2, ou seja, podemos escrever r(x)=ax+b para constantes a e b.

Passo 3

Para encontrar r(x), usamos que em aritmética de polinômios módulo Q(x) vale a relação x^2 = x -1. Alternativamente, como as raízes de Q(x) satisfazem x^6=1, podemos reduzir expoentes módulo 6.

Passo 4

Calculamos 9874 bmod 6 = 4, logo x^9874equiv x^4 no anel definido por x^2-x+1.

Passo 5

Agora reduzimos x^4 usando x^2=x-1: x^4=(x^2)^2=(x-1)^2=x^2-2x+1=(x-1)-2x+1=-x.

Passo 6

Substituindo em P(x), temos x^9874+27x-2025equiv -x+27x-2025=26x-2025. Logo r(x)=26x-2025.

Passo 7

Finalmente, derivando r(x) obtemos r'(x)=26.

Resposta

26

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