Calcule utilizando L’Hospital.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas que importam para resolver o problema:
- A variável
tende para . - O numerador é
. - O denominador é
. - Quando
temos que e , portanto a expressão original tem a forma indeterminada .
Passo 2
Vamos aplicar a regra de L’Hospital. Antes de usar, preciso explicar o que a regra diz e quando é permitida:
A regra de L’Hospital (caso da forma
ou
) afirma o seguinte: se duas funções
e
são diferenciáveis numa vizinhança (exceto possivelmente no ponto limite) e se
ou
então, se o limite
existe (ou é
), temos
Observações importantes sobre a aplicação:
- É necessário verificar a forma indeterminada antes de aplicar (já verificado no Passo 1).
- Pode ser que seja preciso aplicar a regra mais de uma vez: isto é permitido quando, após a primeira aplicação, ainda fica uma forma
ou . - Sempre verificar que as derivadas existem nas vizinhanças consideradas.
No nosso caso já temos a forma
, então podemos aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 3
Calculemos as derivadas do numerador e do denominador (explicando passo a passo):
Numerador:
.
- Usamos a regra da cadeia: se
então e . - Aqui
, logo
Denominador:
.
- Derivada de potência: se
então . - Aplicando com
,
Pela regra de L’Hospital,
desde que o limite à direita exista (ou seja
). Vamos analisar esse novo limite.
Passo 4
Analise do novo limite
Observe que quando
temos
e
. Assim a expressão ainda tem a forma indeterminada
. Então podemos aplicar L’Hospital novamente.
Passo 5
Aplicando L’Hospital pela segunda vez, calculamos as derivadas das funções do numerador e do denominador da fração
:
Numerador:
.
- Derivando:
(novamente regra da cadeia).
Denominador:
.
- Derivando:
.
Pela regra de L’Hospital mais uma vez,
Passo 6
Avaliação final do limite
Sabemos que
(exponencial com expoente positivo cresce sem limite quando
). Multiplicando por uma constante positiva não muda o comportamento para o infinito. Portanto
Assim, voltando pelas igualdades obtidas com L’Hospital, concluímos que o limite original diverge para
.
Passo 7
Comentário final (dica para a prova, estilo amigo): a intuição é simples — funções exponenciais como
crescem muito mais rápido que qualquer polinômio
. Então limites do tipo
com
tendem para
. Mas na prova use L’Hospital como fizemos aqui: aplique quantas vezes forem necessárias até que a forma deixe de ser indeterminada.