Calcule utilizando L’Hospital.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{3 x}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{3x}}{x^{2}}.
Informações dadas que importam para resolver o problema:
  • A variável x tende para +\infty.
  • O numerador é e^{3x}.
  • O denominador é x^{2}.
  • Quando x\to+\infty temos que e^{3x}\to+\infty e x^{2}\to+\infty, portanto a expressão original tem a forma indeterminada \displaystyle\frac{+\infty}{+\infty}.

Passo 2

Vamos aplicar a regra de L’Hospital. Antes de usar, preciso explicar o que a regra diz e quando é permitida:
A regra de L’Hospital (caso da forma \frac{0}{0} ou \frac{\infty}{\infty}) afirma o seguinte: se duas funções f(x) e g(x) são diferenciáveis numa vizinhança (exceto possivelmente no ponto limite) e se
\lim_{x\to a} f(x)=0\\ \text{e}\\ \lim_{x\to a} g(x)=0
ou
\lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty\\ \text{e}\\ \lim_{x\to a} g(x)=\pm\infty,
então, se o limite
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (ou é \pm\infty), temos
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Observações importantes sobre a aplicação:
  • É necessário verificar a forma indeterminada antes de aplicar (já verificado no Passo 1).
  • Pode ser que seja preciso aplicar a regra mais de uma vez: isto é permitido quando, após a primeira aplicação, ainda fica uma forma \frac{0}{0} ou \frac{\infty}{\infty}.
  • Sempre verificar que as derivadas existem nas vizinhanças consideradas.
No nosso caso já temos a forma \frac{\infty}{\infty}, então podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

Calculemos as derivadas do numerador e do denominador (explicando passo a passo):
Numerador: f(x)=e^{3x}.
  • Usamos a regra da cadeia: se u(x)=3x então f(x)=e^{u(x)} e f'(x)=u'(x)e^{u(x)}.
  • Aqui u'(x)=3, logo
f'(x)=3e^{3x}.
Denominador: g(x)=x^{2}.
  • Derivada de potência: se g(x)=x^{n} então g'(x)=n x^{n-1}.
  • Aplicando com n=2,
g'(x)=2x.
Pela regra de L’Hospital,
\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{3x}}{x^{2}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{3e^{3x}}{2x},
desde que o limite à direita exista (ou seja \pm\infty). Vamos analisar esse novo limite.

Passo 4

Analise do novo limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{3e^{3x}}{2x}.
Observe que quando x\to+\infty temos 3e^{3x}\to+\infty e 2x\to+\infty. Assim a expressão ainda tem a forma indeterminada \frac{\infty}{\infty}. Então podemos aplicar L’Hospital novamente.

Passo 5

Aplicando L’Hospital pela segunda vez, calculamos as derivadas das funções do numerador e do denominador da fração \dfrac{3e^{3x}}{2x}:
Numerador: h(x)=3e^{3x}.
  • Derivando: h'(x)=3\cdot(3e^{3x})=9e^{3x} (novamente regra da cadeia).
Denominador: k(x)=2x.
  • Derivando: k'(x)=2.
Pela regra de L’Hospital mais uma vez,
\lim_{x\to+\infty}\frac{3e^{3x}}{2x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{9e^{3x}}{2}.

Passo 6

Avaliação final do limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{9e^{3x}}{2} = \frac{9}{2}\,\lim_{x\to+\infty}e^{3x}.
Sabemos que \lim_{x\to+\infty}e^{3x}=+\infty (exponencial com expoente positivo cresce sem limite quando x\to+\infty). Multiplicando por uma constante positiva não muda o comportamento para o infinito. Portanto
\lim_{x\to+\infty}\frac{9e^{3x}}{2}=+\infty.
Assim, voltando pelas igualdades obtidas com L’Hospital, concluímos que o limite original diverge para +\infty.

Passo 7

Comentário final (dica para a prova, estilo amigo): a intuição é simples — funções exponenciais como e^{3x} crescem muito mais rápido que qualquer polinômio x^{n}. Então limites do tipo \displaystyle\frac{e^{ax}}{x^{n}} com a>0 tendem para +\infty. Mas na prova use L’Hospital como fizemos aqui: aplique quantas vezes forem necessárias até que a forma deixe de ser indeterminada.

Resposta

+\infty

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