Resolva as seguintes equações:
17. y^{\prime}=\frac{y^{2}+2 x y}{x^{2}}

Passo 1

Enunciado: Resolver a equação diferencial
y'=\frac{y^{2}+2xy}{x^{2}}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • A equação é de primeira ordem e envolve divisão por x^{2}, portanto devemos tomar cuidado com x=0 (a equação não está definida em x=0).
  • O objetivo é encontrar a família de soluções gerais y(x) (incluindo soluções especiais que possam surgir).

Passo 2

Observação útil para escolher método (explicação didática e intuitiva): se eu dividir a expressão do lado direito por x^{2} eu obtenho uma função que depende de \dfrac{y}{x}:
\frac{y^{2}+2xy}{x^{2}}=\left(\frac{y}{x}\right)^{2}+2\left(\frac{y}{x}\right).
Quando o lado direito depende apenas da razão \dfrac{y}{x}, a técnica padrão é fazer a substituição
u=\frac{y}{x},
ou seja y=xu(x). Essa substituição transforma a equação em uma de variáveis separáveis (mais simples). Não pularei etapas: vou mostrar exatamente como isso acontece.

Passo 3

Calcular y' em termos de u e u'. Usando y=xu e regra do produto:
y' = \frac{d}{dx}(xu)=u + x u'.
Agora substituo y=xu e y' na equação original:
u+xu' = \left(\frac{xu}{x}\right)^{2} + 2\left(\frac{xu}{x}\right).
Simplifico o lado direito:
u+xu' = u^{2} + 2u.

Passo 4

Isolo u' e reorganizo para separar variáveis:
xu' = u^{2}+2u - u = u^{2}+u.
Portanto
u' = \frac{u^{2}+u}{x} = \frac{u(u+1)}{x}.
Agora separo as variáveis u e x:
\frac{du}{u(u+1)} = \frac{dx}{x}.

Passo 5

Faço a decomposição em frações parciais para integrar o lado esquerdo. Temos
\frac{1}{u(u+1)}=\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1}.
Logo a integral fica
\int\left(\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1}\right)du=\int\frac{dx}{x}.
Integrando ambos os lados:
\ln|u|-\ln|u+1|=\ln|x|+C,
onde C é constante arbitrária de integração.

Passo 6

Combino os logaritmos no lado esquerdo e exponencio para eliminar log:
\ln\left|\frac{u}{u+1}\right|=\ln|x|+C.
Escrevo C como \ln|K| (ou simplesmente introduzo uma constante multiplicativa K\neq0) e exponencio:
\left|\frac{u}{u+1}\right| = K|x|.
Para simplificar a escrita tomo C arbitrário (podendo ter sinal) e escrevo
\frac{u}{u+1}=C x,
onde C é constante real arbitrária. Agora resolvo algebricamente para u:
u = Cx(u+1) = Cx\,u + Cx,
u(1 - Cx) = Cx,
u = \frac{C x}{1 - C x}.

Passo 7

Volto à variável original y. Lembrando que y=xu:
y = x\cdot \frac{C x}{1 - C x} = \frac{C x^{2}}{1 - C x}.
Essa é a solução geral obtida pela separação. Temos que anotar as restrições de domínio: a equação original exige x\neq0 e a expressão exige 1 - Cx\neq0 (para evitar divisão por zero). Também devemos verificar soluções que foram perdidas quando dividimos por fatores na separação: na etapa em que escrevemos \dfrac{1}{u(u+1)} notamos que u=0 e u=-1 são casos especiais que merecem atenção.

Passo 8

Tratamento das soluções especiais e verificação rápida:
  • Se u=0 então y=x\cdot 0=0. Testo em y'=\dfrac{y^{2}+2xy}{x^{2}}: com y\equiv0 temos y'=0 e o lado direito também é 0. Logo y\equiv 0 é solução. Essa solução corresponde à constante C=0 na fórmula geral \dfrac{C x^{2}}{1 - C x}.
  • Se u=-1 então y=x(-1)=-x. Testo: para y=-x temos y'=-1 e o lado direito
\frac{y^{2}+2xy}{x^{2}}=\frac{(-x)^{2}+2x(-x)}{x^{2}}=\frac{x^{2}-2x^{2}}{x^{2}}=-1,
portanto y=-x é solução. Essa solução não aparece na fórmula geral para nenhum valor finito de C (ela corresponde a um caso singular da separação) e portanto deve ser listada separadamente.

Resposta

y=\dfrac{C x^{2}}{1 - C x},\\ C\in\mathbb{R},\\ x\neq0,\\\ 1-Cx\neq0
y=-x

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