Resolva as seguintes equações:
17. y^{\prime}=\frac{y^{2}+2 x y}{x^{2}}
Passo 1
Enunciado: Resolver a equação diferencial
y'=\frac{y^{2}+2xy}{x^{2}}.
Informações dadas e o que é pedido:
A incógnita é a função y=y(x).
A equação é de primeira ordem e envolve divisão por x^{2}, portanto devemos tomar cuidado com x=0 (a equação não está definida em x=0).
O objetivo é encontrar a família de soluções gerais y(x) (incluindo soluções especiais que possam surgir).
Passo 2
Observação útil para escolher método (explicação didática e intuitiva): se eu dividir a expressão do lado direito por x^{2} eu obtenho uma função que depende de \dfrac{y}{x}:
Quando o lado direito depende apenas da razão \dfrac{y}{x}, a técnica padrão é fazer a substituição
u=\frac{y}{x},
ou seja y=xu(x). Essa substituição transforma a equação em uma de variáveis separáveis (mais simples). Não pularei etapas: vou mostrar exatamente como isso acontece.
Passo 3
Calcular y' em termos de u e u'. Usando y=xu e regra do produto:
Combino os logaritmos no lado esquerdo e exponencio para eliminar log:
\ln\left|\frac{u}{u+1}\right|=\ln|x|+C.
Escrevo C como \ln|K| (ou simplesmente introduzo uma constante multiplicativa K\neq0) e exponencio:
\left|\frac{u}{u+1}\right| = K|x|.
Para simplificar a escrita tomo C arbitrário (podendo ter sinal) e escrevo
\frac{u}{u+1}=C x,
onde C é constante real arbitrária. Agora resolvo algebricamente para u:
u = Cx(u+1) = Cx\,u + Cx,
u(1 - Cx) = Cx,
u = \frac{C x}{1 - C x}.
Passo 7
Volto à variável original y. Lembrando que y=xu:
y = x\cdot \frac{C x}{1 - C x} = \frac{C x^{2}}{1 - C x}.
Essa é a solução geral obtida pela separação. Temos que anotar as restrições de domínio: a equação original exige x\neq0 e a expressão exige 1 - Cx\neq0 (para evitar divisão por zero). Também devemos verificar soluções que foram perdidas quando dividimos por fatores na separação: na etapa em que escrevemos \dfrac{1}{u(u+1)} notamos que u=0 e u=-1 são casos especiais que merecem atenção.
Passo 8
Tratamento das soluções especiais e verificação rápida:
Se u=0 então y=x\cdot 0=0. Testo em y'=\dfrac{y^{2}+2xy}{x^{2}}: com y\equiv0 temos y'=0 e o lado direito também é 0. Logo y\equiv 0 é solução. Essa solução corresponde à constante C=0 na fórmula geral \dfrac{C x^{2}}{1 - C x}.
Se u=-1 então y=x(-1)=-x. Testo: para y=-x temos y'=-1 e o lado direito
portanto y=-x é solução. Essa solução não aparece na fórmula geral para nenhum valor finito de C (ela corresponde a um caso singular da separação) e portanto deve ser listada separadamente.
Resposta
y=\dfrac{C x^{2}}{1 - C x},\\ C\in\mathbb{R},\\ x\neq0,\\\ 1-Cx\neq0