Utilizando a definição de série infinita calcule a série abaixo:
sumn=1^infty[e^1 / n-e^1 /(n+1)]

Passo 1

Vamos resolver a série infinita sumn=1^infty[e^1 / n-e^1 /(n+1)]. Para isso, vamos utilizar o conceito de série telescópica, que é uma série onde muitos termos se cancelam quando a série é expandida. Precisamos entender como os termos se cancelam para encontrar a soma total da série.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da série para ver o padrão de cancelamento:
&(e^1/1 - e^1/2) + (e^1/2 - e^1/3) + (e^1/3 - e^1/4) + cdots
Observe que cada termo negativo cancela com o termo positivo seguinte.

Passo 3

Ao somarmos os primeiros N termos, temos:
sumn=1^N[e^1 / n-e^1 /(n+1)] = e^1/1 - e^1/(N+1)
Isso mostra que, na soma parcial, todos os termos intermediários se cancelam, restando apenas o primeiro termo da primeira expressão e o segundo termo da última expressão.

Passo 4

Para encontrar a soma da série infinita, precisamos analisar o limite quando N tende ao infinito:
limN to infty (e^1 - e^1/(N+1))
Sabemos que limN to infty e^1/(N+1) = e^0 = 1, pois 1/(N+1) vai para zero conforme N aumenta.

Passo 5

Substituindo o limite na expressão, temos:
limN to infty (e - 1) = e - 1
Portanto, a soma da série infinita é e - 1.

Resposta

A soma da série é e - 1.

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