Utilizando a definição de série infinita calcule a série abaixo:
Passo 1
Vamos resolver a série infinita
. Para isso, vamos utilizar o conceito de série telescópica, que é uma série onde muitos termos se cancelam quando a série é expandida. Precisamos entender como os termos se cancelam para encontrar a soma total da série.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da série para ver o padrão de cancelamento:
Observe que cada termo negativo cancela com o termo positivo seguinte.
Passo 3
Ao somarmos os primeiros
termos, temos:
Isso mostra que, na soma parcial, todos os termos intermediários se cancelam, restando apenas o primeiro termo da primeira expressão e o segundo termo da última expressão.
Passo 4
Para encontrar a soma da série infinita, precisamos analisar o limite quando
tende ao infinito:
Sabemos que
, pois
vai para zero conforme
aumenta.
Passo 5
Substituindo o limite na expressão, temos:
Portanto, a soma da série infinita é
.
Resposta
A soma da série é
.