Resolva os PVIs a seguir.
Passo 1
Resumindo o problema: temos o PVI
com condições iniciais
e
. É uma EDO linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, a gente primeiro encontra a solução da parte homogênea e depois uma solução particular usando método de coeficientes determinados.
Passo 2
A parte homogênea é
. A equação característica é
cuja única raiz dupla é
Passo 3
Para achar uma solução particular
, notamos que o segundo membro é
e que
já aparece na homogênea com multiplicidade 2. Então usamos o artifício de escrever
e calcular
Passo 4
Substituindo em
surge
e igualamos a
Passo 5
Integrando duas vezes,
Passo 6
Como os termos
entram na solução homogênea, podemos escolher
para um particular conveniente, ficando
Passo 7
A solução geral do PVI é
Passo 8
Agora aplicamos as condições iniciais. Para
:
Passo 9
Para
, em
temos