Resolva os PVIs a seguir.
y^prime prime-2 y^prime+y=t^2 e^t, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

Resumindo o problema: temos o PVI y''-2y'+y=t^2e^t com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. É uma EDO linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, a gente primeiro encontra a solução da parte homogênea e depois uma solução particular usando método de coeficientes determinados.

Passo 2

A parte homogênea é y''-2y'+y=0. A equação característica é
r^2-2r+1=0
cuja única raiz dupla é r=1. Logo a solução geral da homogênea é
yh(t)=C1e^t+C2te^t.

Passo 3

Para achar uma solução particular yp, notamos que o segundo membro é t^2e^t e que e^t já aparece na homogênea com multiplicidade 2. Então usamos o artifício de escrever
yp(t)=e^t u(t)
e calcular
y'p=e^t(u+u'), y''p=e^t(u+2u'+u'')

Passo 4

Substituindo em y''-2y'+y surge
e^tl(u+2u'+u''r)-2e^t(u+u')+e^t u=e^t u''
e igualamos a t^2e^t, obtendo
u''(t)=t^2

Passo 5

Integrando duas vezes,
u'(t)=t^33+A, u(t)=t^412+At+B

Passo 6

Como os termos At+B entram na solução homogênea, podemos escolher A=B=0 para um particular conveniente, ficando
yp(t)=e^tt^412

Passo 7

A solução geral do PVI é
y(t)=C1e^t+C2te^t+t^412e^t

Passo 8

Agora aplicamos as condições iniciais. Para t=0:
y(0)=C1=1

Passo 9

Para y'(t)=e^tl(C1+C2+C2t+t^412+tfract^33r), em t=0 temos
y'(0)=C1+C2=0 Rightarrow 1+C2=0 Rightarrow C2=-1

Resposta

y(t)=e^tl(1 - t + tfract^412r)

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