Lembre que os números naturais
foram definidos a partir dos axiomas de Peano, de tal forma que
e utilizamos a notação usual
, etc.
Prove que:
.
Prove que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que 4 não é igual a 0 nos números naturais. Estamos trabalhando com os axiomas de Peano, que definem como os números naturais são construídos a partir do zero usando a função sucessor. Para resolver isso, vamos usar esses axiomas e mostrar, passo a passo, que 4 nunca chega a ser igual a 0.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como os números naturais são definidos pelos axiomas de Peano:
Aqui, $ s(x) $ representa o sucessor de $ x $. Então, temos:
E assim por diante. Isso mostra que cada número natural é o sucessor do anterior.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que 0 é o primeiro número natural e não possui predecessor. Ou seja, não existe um número natural $ n $ tal que $ s(n) = 0 $. Essa é uma das propriedades fundamentais dos axiomas de Peano.
Passo 4
Para provar que $ 4 \neq 0 $, vamos observar que:
E como $ s(3) $ é o sucessor de 3, ele não pode ser igual a 0, já que, como vimos, 0 não tem predecessor. Assim, não existe nenhum número natural cujo sucessor seja 0.
Passo 5
Além disso, podemos usar o princípio da indução para reforçar isso, mas, basicamente, cada número natural é único e cada sucessor é distinto do anterior, garantindo que nenhum número natural, incluindo 4, seja igual a 0.
Resposta
Portanto, concluímos que $ 4 \neq 0 $ nos números naturais conforme os axiomas de Peano.