Resolva os PVIs a seguir.
y^prime prime+2 y^prime+y=t, y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

Neste exercício temos o PVI y'' + 2y' + y = t com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1. O conteúdo abordado é a solução de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea associada, montamos o polinômio característico
r^2 + 2r + 1 = 0
que tem raiz dupla r = -1. Portanto a solução homogênea é
yh = (C1 + C2 t) e^-t .

Passo 3

Para achar uma solução particular yp, propomos um polinômio de grau 1: yp = At + B. Calculamos suas derivadas yp' = A e yp'' = 0 e substituímos na equação original:
0 + 2A + (At + B) = t
Comparando coeficientes em t e termo constante, obtemos A = 1 e B = -2. Logo yp = t - 2.

Passo 4

A solução geral é y = yh + yp = (C1 + C2 t)e^-t + t - 2. Usando as condições iniciais, em t=0 temos
y(0)=C1 -2 =0 que dá C1=2, e calculando y'(t) e avaliando em 0 obtemos C2=2.

Resposta

y(t) = (2 + 2t)e^-t + t - 2

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