Resolva os PVIs a seguir.
y^prime prime+y=t, y(0)=1, y^prime(0)=-2

Passo 1

O problema é resolver o PVI dado por
y'' + y = t, y(0)=1, ; y'(0)=-2,
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para obter a solução completa.

Passo 2

Começamos encontrando a solução da equação homogênea associada:
yh'' + yh = 0
A equação característica é
r^2 + 1 = 0 implies r = pm i
Logo, a solução homogênea é
yh(t) = Acos t + Bsin t

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp para a parte não homogênea y'' + y = t. Como o termo do lado direito é um polinômio de grau 1, tentamos
yp(t) = at + b
Calculando as derivadas:
yp'(t) = a, yp''(t) = 0
Substituindo em y'' + y = t:
0 + (at + b) = t implies at + b = t
Comparando coeficientes obtemos a = 1 e b = 0, ou seja,
yp(t) = t

Passo 4

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = Acos t + Bsin t + t

Passo 5

Faltam agora determinar A e B usando as condições iniciais. Primeiro,
y(0) = Acos 0 + Bsin 0 + 0 = A = 1
Em seguida, derivando a solução geral:
y'(t) = -Asin t + Bcos t + 1,
logo,
y'(0) = -Asin 0 + Bcos 0 + 1 = B + 1 = -2 implies B = -3

Resposta

y(t) = cos t - 3sin t + t

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