A negação de um inteiro [(a, b)] é definida por
-[(a, b)]:=[(b, a)]
Mostre que, seja qual for o inteiro x, vale
(-1) times x=-x, onde -1=[(0,1)].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que para todo inteiro x vale (-1)times x = -x. Aqui usamos a construção de Z por classes de equivalência de pares (a,b) de naturais e precisamos das definições de multiplicação e de inverso aditivo.

Passo 2

A multiplicação em Z é dada pelas classes [(a,b)] e [(c,d)] definidas por
[(a,b)]times[(c,d)] = [(acdot c + bcdot d,;acdot d + bcdot c)]

Passo 3

Agora, seja x = [(a,b)]. Como -1 = [(0,1)], calculamos
(-1)times x = [(0,1)]times[(a,b)] = [(0cdot a + 1cdot b,;0cdot b + 1cdot a)] = [(b,a)]

Passo 4

Por definição de inverso aditivo, para toda classe [(a,b)] temos
-[(a,b)] = [(b,a)] O resultado [(b,a)] coincide com o inverso aditivo de [(a,b)], logo
(-1)times x = -x.

Resposta

(-1)\times x = -x

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