Lembre do Teorema de Existência e Unicidade: Considere o problema de valor inicial
。onde
e
são funções contínuas em um intervalo aberto
que contém o ponto
, então existe uma única solução para o problema de valor inicial,
definida para todo
].
Verificar que a função
é solução do problema de valor inicial
Esta solução é única? justifique.
Verificar que a função
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a função
satisfaz o problema de valor inicial
e então dizer se essa solução é única, usando o Teorema de Existência e Unicidade para EDOs de segunda ordem com coeficientes contínuos.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas de
. Para
temos
e
Passo 3
Substituindo na equação diferencial
:
que coincide com o termo independente do enunciado.
Passo 4
Verificamos as condições iniciais em
:
Logo,
e
como pedido.
Passo 5
No formato padrão
temos aqui
,
e
, que são contínuas em todo
. Pelo Teorema de Existência e Unicidade, existe uma única solução definida num intervalo que contenha
.
Resposta
A função
satisfaz tanto a equação
quanto as condições iniciais
,
.
Sim, essa solução é única, pois ,
e
são contínuas em
, garantindo unicidade pelo teorema.
Sim, essa solução é única, pois