Lembre do Teorema de Existência e Unicidade: Considere o problema de valor inicial d^2 yd t^2+p(t) d yd t+q(t) y=f(t), y(t0)=y0, d yd t(t0)=z0 。onde p, q e f são funções contínuas em um intervalo aberto I que contém o ponto t0, então existe uma única solução para o problema de valor inicial, y=phi(t) definida para todo t in I ].
Verificar que a função y(x)=3 e^2 x+e^-2 x-3 x é solução do problema de valor inicial
y^prime prime-4 y=12 x, y(0)=4, y^prime(0)=1
Esta solução é única? justifique.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
y(x)=3e^2x+e^-2x-3x
satisfaz o problema de valor inicial
y''-4y=12x, y(0)=4, y'(0)=1,
e então dizer se essa solução é única, usando o Teorema de Existência e Unicidade para EDOs de segunda ordem com coeficientes contínuos.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de y. Para
y(x)=3e^2x+e^-2x-3x
temos
y'(x)=6e^2x-2e^-2x-3
e
y''(x)=12e^2x+4e^-2x

Passo 3

Substituindo na equação diferencial y''-4y:
y''-4y =(12e^2x+4e^-2x) -4l(3e^2x+e^-2x-3xr)
=12e^2x+4e^-2x-12e^2x-4e^-2x+12x =12x,
que coincide com o termo independente do enunciado.

Passo 4

Verificamos as condições iniciais em x=0:
y(0)=3cdot1+1-0=4,
y'(0)=6cdot1-2cdot1-3=1
Logo, y(0)=4 e y'(0)=1 como pedido.

Passo 5

No formato padrão
y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
temos aqui p(x)=0, q(x)=-4 e f(x)=12x, que são contínuas em todo R. Pelo Teorema de Existência e Unicidade, existe uma única solução definida num intervalo que contenha x=0.

Resposta

A função y(x)=3e^2x+e^-2x-3x satisfaz tanto a equação y''-4y=12x quanto as condições iniciais y(0)=4, y'(0)=1.
Sim, essa solução é única, pois p(x)=0, q(x)=-4 e f(x)=12x são contínuas em R, garantindo unicidade pelo teorema.

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