Descreva as curvas de nível e determine a imagem:
z=x^2x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para descrever as curvas de nível da função
z = x^2x^2 + y^2
definida em R^2setminus(0,0), ou seja, para cada constante c achar o conjunto
(x,y)in R^2setminus(0,0)mid tfracx^2x^2+y^2=c,
e também determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de z). Vamos usar álgebra elementar e, à vontade, coordenadas polares para estudar o alcance de z.

Passo 2

Considere um nível genérico c com 0<c<1. A equação
x^2x^2+y^2 = c
implica
x^2 = c,(x^2 + y^2) Longrightarrow x^2(1-c) = c,y^2 Longrightarrow y^2 = 1-cc,x^2
Logo
y = pm x,raiz1-cc
Portanto, para cada cin(0,1) as curvas de nível são dois raios (linhas passantes pela origem, excluído o ponto (0,0)) de inclinações
m = pmraiz1-cc

Passo 3

Faltam os casos extremos:
  1. Para c=0 a equação tfracx^2x^2+y^2=0 só ocorre quando x=0 e yneq0. Logo o nível c=0 é o eixo y, sem a origem.
  2. Para c=1 temos tfracx^2x^2+y^2=1 só se y=0 e xneq0. Logo o nível c=1 é o eixo x, sem a origem.

Passo 4

Para determinar a imagem, note em coordenadas polares (x,y)=(rcostheta,rsintheta) com r>0 que
z = r^2cos^2thetar^2 = cos^2theta,
de onde z varia conforme theta e atinge todos os valores entre 0 e 1, inclusive extremos (quando theta=pi/2 z=0 e quando theta=0 z=1).

Resposta

As curvas de nível de z=tfracx^2x^2+y^2 são:
para cin(0,1), as retas
y = pm xraiz1-cc,
para c=0, o eixo y (sem a origem), e para c=1, o eixo x (sem a origem).
A imagem da função é
[0,1]

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