Descreva as curvas de nível e determine a imagem:
Passo 1
O enunciado pede para descrever as curvas de nível da função
definida em
, ou seja, para cada constante
achar o conjunto
e também determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de
). Vamos usar álgebra elementar e, à vontade, coordenadas polares para estudar o alcance de
.
Passo 2
Considere um nível genérico
com
. A equação
implica
Logo
Portanto, para cada
as curvas de nível são dois raios (linhas passantes pela origem, excluído o ponto
) de inclinações
Passo 3
Faltam os casos extremos:
- Para
a equação só ocorre quando e . Logo o nível é o eixo , sem a origem. - Para
temos só se e . Logo o nível é o eixo , sem a origem.
Passo 4
Para determinar a imagem, note em coordenadas polares
com
que
de onde
varia conforme
e atinge todos os valores entre
e
, inclusive extremos (quando
dá
e quando
dá
).
Resposta
As curvas de nível de
são:
para , as retas
para
para
, o eixo
(sem a origem), e para
, o eixo
(sem a origem).
A imagem da função é
A imagem da função é