Lembre do Teorema de Existência e Unicidade: Considere o problema de valor inicial
. onde
e
são funções contínuas em um intervalo aberto
que contém o ponto
, então existe uma única solução para o problema de valor inicial,
definida para todo
].
Verificar que a função
é solução do problema de valor inicial
Esta solução é única? justifique.
Verificar que a função
Passo 1
O enunciado pede para verificar que
é solução do problema de valor inicial
que é uma equação diferential linear de segunda ordem não homogênea com condições iniciais. Para isso, vamos (1) calcular
e
, (2) substituir na equação diferencial e (3) conferir as condições iniciais. Por fim, usamos o Teorema de Existência e Unicidade para concluir sobre a unicidade da solução.
Passo 2
Calcular as derivadas de
.
Como
Como
temos
Passo 3
Substituir
,
e
na equação diferencial
.
Temos
Temos
Logo, a equação diferencial fica
, verificada.
Passo 4
Verificar as condições iniciais em
.
Portanto,
e
coincidem com as dadas.
Passo 5
Concluímos que
satisfaz tanto a equação diferencial quanto as condições iniciais do problema de valor inicial.
Passo 6
Como na forma padrão
temos aqui
,
e
, todas contínuas em
, o Teorema de Existência e Unicidade garante que existe uma única solução definida num intervalo aberto contendo
. Portanto, a solução encontrada é única.
Resposta
A função
é solução do PVI e, por aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (com
,
,
contínuas), essa solução é única.