Lembre do Teorema de Existência e Unicidade: Considere o problema de valor inicial
d^2 yd t^2+p(t) d yd t+q(t) y=f(t), y(t0)=y0, d yd t(t0)=z0
. onde p, q e f são funções contínuas em um intervalo aberto I que contém o ponto t0, então existe uma única solução para o problema de valor inicial, y=phi(t) definida para todo t in I].
Verificar que a função y(x)=3 e^2 x+e^-2 x-3 x é solução do problema de valor inicial
y^prime prime-4 y=12 x, y(0)=4, y^prime(0)=1
Esta solução é única? justifique.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
y(x)=3e^2x+e^-2x-3x
é solução do problema de valor inicial
y''-4y=12x, y(0)=4, y'(0)=1,
que é uma equação diferential linear de segunda ordem não homogênea com condições iniciais. Para isso, vamos (1) calcular y' e y'', (2) substituir na equação diferencial e (3) conferir as condições iniciais. Por fim, usamos o Teorema de Existência e Unicidade para concluir sobre a unicidade da solução.

Passo 2

Calcular as derivadas de y(x).
Como
y(x)=3e^2x+e^-2x-3x,
temos
y'(x)=6e^2x-2e^-2x-3,
y''(x)=12e^2x+4e^-2x

Passo 3

Substituir y, y' e y'' na equação diferencial ,y''-4y=12x.
Temos
y''-4y =(12e^2x+4e^-2x)-4l(3e^2x+e^-2x-3xr) =12e^2x+4e^-2x-12e^2x-4e^-2x+12x =12x
Logo, a equação diferencial fica 12x=12x, verificada.

Passo 4

Verificar as condições iniciais em x=0.
y(0)=3cdot1+1-0=4,
y'(0)=6cdot1-2cdot1-3=6-2-3=1
Portanto, y(0)=4 e y'(0)=1 coincidem com as dadas.

Passo 5

Concluímos que y(x)=3e^2x+e^-2x-3x satisfaz tanto a equação diferencial quanto as condições iniciais do problema de valor inicial.

Passo 6

Como na forma padrão
y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
temos aqui p(x)=0, q(x)=-4 e f(x)=12x, todas contínuas em R, o Teorema de Existência e Unicidade garante que existe uma única solução definida num intervalo aberto contendo x=0. Portanto, a solução encontrada é única.

Resposta

A função y(x)=3e^2x+e^-2x-3x é solução do PVI e, por aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (com p(x)=0, q(x)=-4, f(x)=12x contínuas), essa solução é única.

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