Verifique se os campos vetoriais a seguir são conservativos e em caso positivo determine sua função potencial.
F(x, y)=(x y+y^2) i+(x^2+2 x y) j

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y) = l(P(x,y),,Q(x,y)r) com P(x,y)=xy+y^2,;Q(x,y)=x^2+2xy
e pede para verificar se é conservativo. Em um domínio simplesmente conexo (como R^2), basta usar o teste
partial Ppartial y ;=; partial Qpartial x
para concluir se existe função potencial varphi tal que nablavarphi=F.

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de P em relação a y:
partial Ppartial y =partialpartial yl(xy+y^2r) =x + 2y

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de Q em relação a x:
partial Qpartial x =partialpartial xl(x^2+2xyr) =2x + 2y

Passo 4

Observamos que
partial Ppartial y =x + 2y neq 2x + 2y =partial Qpartial x
Como as derivadas cruzadas não são iguais, F não é conservativo e, portanto, não existe função potencial.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo, logo não há função potencial.

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