Lembre do Teorema de Existência e Unicidade: Considere o problema de valor inicial
d^2 yd t^2+p(t) d yd t+q(t) y=f(t), y(t0)=y0, d yd t(t0)=z0
. onde p, q e f são funções contínuas em um intervalo aberto I que contém o ponto t0, então existe uma única solução para o problema de valor inicial, y=phi(t) definida para todo t in I].
Encontre o maior intervalo onde a solução do problema de valor inicial a seguir existe e é única,
(t-2) y^prime prime+y^prime-(t-2) t y=0, y(3)=1, y^prime(3)=2.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
(t-2),y''+y'-l(t-2r)t,y=0, y(3)=1,;y'(3)=2
e pede o maior intervalo em que a solução existe e é única. Pelo Teorema de Existência e Unicidade para equações lineares de segunda ordem, precisamos escrever a EDO na forma
y''+p(t),y'+q(t),y=f(t)
e verificar onde as funções p(t), q(t) e f(t) são contínuas.

Passo 2

Dividindo ambos os lados da equação por t-2 (pressupondo tneq2), obtemos a forma normal
y''+1t-2,y'-t,y=0
Aqui p(t)=1t-2, q(t)=-t e f(t)=0.

Passo 3

Verificamos continuidade de p(t) e q(t):
  • p(t)=1t-2 é descontínua em t=2.
  • q(t)=-t é contínua para todo t.
  • f(t)=0 é contínua para todo t.

Passo 4

A única singularidade da forma normal é t=2, de modo que p(t) e q(t) são contínuas em cada um dos dois intervalos
(-infty,2)e(2,infty)
Como a condição inicial está em t0=3, que pertence a (2,infty), o maior intervalo que contém 3 e no qual p e q são contínuas é
(2,infty)

Resposta

O maior intervalo em que a solução existe e é única é (2,infty).

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