Lembre do Teorema de Existência e Unicidade: Considere o problema de valor inicial
. onde
e
são funções contínuas em um intervalo aberto
que contém o ponto
, então existe uma única solução para o problema de valor inicial,
definida para todo
].
Encontre o maior intervalo onde a solução do problema de valor inicial a seguir existe e é única,
.
Encontre o maior intervalo onde a solução do problema de valor inicial a seguir existe e é única,
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pede o maior intervalo em que a solução existe e é única. Pelo Teorema de Existência e Unicidade para equações lineares de segunda ordem, precisamos escrever a EDO na forma
e verificar onde as funções
,
e
são contínuas.
Passo 2
Dividindo ambos os lados da equação por
(pressupondo
), obtemos a forma normal
Aqui
,
e
.
Passo 3
Verificamos continuidade de
e
:
-
é descontínua em . -
é contínua para todo . -
é contínua para todo .
Passo 4
A única singularidade da forma normal é
, de modo que
e
são contínuas em cada um dos dois intervalos
Como a condição inicial está em
, que pertence a
, o maior intervalo que contém
e no qual
e
são contínuas é
Resposta
O maior intervalo em que a solução existe e é única é
.