Lembre que, para uma velocidade de lançamento
, o alcance é o mesmo para ângulos
e
. Encontre a razão entre os tempos de voo para essas duas opções.
Passo 1
O enunciado dá que a velocidade inicial do projétil é
e que existem dois ângulos de lançamento que produzem o mesmo alcance:
e
. A pergunta é: qual é a razão entre os tempos de voo desses dois lançamentos, ou seja, calcular
Informações relevantes e assumidas (implícitas no enunciado):
- A aceleração da gravidade é
e atua verticalmente para baixo, constante. - O projétil é lançado de um mesmo nível e retorna ao mesmo nível (trajetória simétrica).
- Queremos a razão dos tempos totais de voo desde o lançamento até o pouso.
Passo 2
Vamos escrever as componentes da velocidade inicial para um lançamento com ângulo
. Para decompor a velocidade usamos trigonometria básica: a componente horizontal é
e a componente vertical é
. Explicando cada símbolo:
-
é a rapidez inicial (módulo da velocidade). -
é a componente horizontal da velocidade inicial. -
é a componente vertical da velocidade inicial.
A equação do movimento vertical (com origemno ponto de lançamento) é
Para encontrar o tempo total de voo
precisamos do instante
em que
novamente (o projétil volta ao mesmo nível).
Passo 3
Resolver
. Temos
As soluções são
(lançamento) e
Portanto o tempo total de voo para um ângulo qualquer é
Isto faz sentido fisicamente: o projétil sobe até zerar a velocidade vertical e depois desce; o tempo total é duas vezes o tempo de subida, que é
.
Passo 4
Aplicando ao ângulo
: a componente vertical é
, logo
Para o ângulo
usamos a identidade trigonométrica
Assim a componente vertical para
é
e
Passo 5
Agora calculamos a razão pedida:
Na simplificação cancelaram-se os fatores comuns
.
Passo 6
Interpretação e observação prática: a razão é
. Para ângulos complementares (
e
) o alcance é o mesmo, mas os tempos de voo diferem exatamente pelo fator
. Exemplo numérico rápido: se
então
, o que significa que o lançamento a
tem tempo de voo aproximadamente
vezes o tempo do lançamento a
.