Lembre que, para uma velocidade de lançamento \mathrm{v}_{0}, o alcance é o mesmo para ângulos \theta e \theta^{\prime}=\pi / 2-\theta. Encontre a razão entre os tempos de voo para essas duas opções.

Passo 1

O enunciado dá que a velocidade inicial do projétil é \mathrm{v}_{0} e que existem dois ângulos de lançamento que produzem o mesmo alcance: \theta e \theta'=\dfrac{\pi}{2}-\theta. A pergunta é: qual é a razão entre os tempos de voo desses dois lançamentos, ou seja, calcular
\frac{T(\theta)}{T(\theta')}.
Informações relevantes e assumidas (implícitas no enunciado):
  • A aceleração da gravidade é g e atua verticalmente para baixo, constante.
  • O projétil é lançado de um mesmo nível e retorna ao mesmo nível (trajetória simétrica).
  • Queremos a razão dos tempos totais de voo desde o lançamento até o pouso.

Passo 2

Vamos escrever as componentes da velocidade inicial para um lançamento com ângulo \theta. Para decompor a velocidade usamos trigonometria básica: a componente horizontal é \mathrm{v}_{0x}=\mathrm{v}_{0}\cos\theta e a componente vertical é \mathrm{v}_{0y}=\mathrm{v}_{0}\sin\theta. Explicando cada símbolo:
  • \mathrm{v}_{0} é a rapidez inicial (módulo da velocidade).
  • \mathrm{v}_{0x} é a componente horizontal da velocidade inicial.
  • \mathrm{v}_{0y} é a componente vertical da velocidade inicial.
    A equação do movimento vertical (com origem y=0 no ponto de lançamento) é
y(t)=\mathrm{v}_{0y}\,t-\frac{1}{2}g\,t^{2}.
Para encontrar o tempo total de voo T precisamos do instante t>0 em que y(t)=0 novamente (o projétil volta ao mesmo nível).

Passo 3

Resolver y(t)=0. Temos
0=\mathrm{v}_{0y}\,t-\frac{1}{2}g\,t^{2}=t\!\left(\mathrm{v}_{0y}-\frac{1}{2}g\,t\right).
As soluções são t=0 (lançamento) e
t=\frac{2\mathrm{v}_{0y}}{g}.
Portanto o tempo total de voo para um ângulo qualquer é
T=\frac{2\mathrm{v}_{0y}}{g}.
Isto faz sentido fisicamente: o projétil sobe até zerar a velocidade vertical e depois desce; o tempo total é duas vezes o tempo de subida, que é \mathrm{v}_{0y}/g.

Passo 4

Aplicando ao ângulo \theta: a componente vertical é \mathrm{v}_{0y}=\mathrm{v}_{0}\sin\theta, logo
T(\theta)=\frac{2\mathrm{v}_{0}\sin\theta}{g}.
Para o ângulo \theta'=\dfrac{\pi}{2}-\theta usamos a identidade trigonométrica
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta.
Assim a componente vertical para \theta' é \mathrm{v}_{0}\sin\theta'=\mathrm{v}_{0}\cos\theta e
T(\theta')=\frac{2\mathrm{v}_{0}\cos\theta}{g}.

Passo 5

Agora calculamos a razão pedida:
\frac{T(\theta)}{T(\theta')} = \frac{\dfrac{2\mathrm{v}_{0}\sin\theta}{g}}{\dfrac{2\mathrm{v}_{0}\cos\theta}{g}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta.
Na simplificação cancelaram-se os fatores comuns 2\mathrm{v}_{0}/g.

Passo 6

Interpretação e observação prática: a razão é \tan\theta. Para ângulos complementares ( \theta e \pi/2-\theta) o alcance é o mesmo, mas os tempos de voo diferem exatamente pelo fator \tan\theta. Exemplo numérico rápido: se \theta=30^\circ então \tan30^\circ=1/\sqrt{3}\approx0,577, o que significa que o lançamento a 30^\circ tem tempo de voo aproximadamente 0{,}577 vezes o tempo do lançamento a 60^\circ.

Resposta

\tan\theta

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