Uma lente biconvexa de cristal tem índice de refração \mathrm{n}=1,5 e faces com raios de curvatura iguais a 75 cm . A lente encontra-se imersa em um meio cujo índice de refração é n=2,0. Determine a distância focal da lente.
◯ a. f=-150 m
◯ b. f=150 \mathrm{~m}
◯ C. f=-0,66 \mathrm{~m}
◯ d. f=-150 \mathrm{~cm}
◯ e. f=1,50 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei todos os números do enunciado):
  • Lente biconvexa com índice de refração da lente \,n=1{,}5.
  • Lente imersa num meio com índice de refração \,n_{\text{med}}=2{,}0.
  • Raios de curvatura das faces iguais a \,75\\ \mathrm{cm} (ambas as faces têm o mesmo valor de raio).
  • Pede-se determinar a distância focal da lente (valor e sinal), e há alternativas de resposta listadas (a) a (e).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (lei das lentes em um meio qualquer). Para uma lente delgada imersa em um meio com índice \,n_{\text{med}}, a equação dos focos é:
\frac{1}{f}=\left(\frac{n}{n_{\text{med}}}-1\right)\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right).
Explicando cada símbolo com calma:
  • \,f é a distância focal que queremos (unidade de comprimento; sinal positivo indica lente convergente no sentido adotado, negativo indica divergente).
  • \,n é o índice de refração do material da lente (aqui \,1{,}5).
  • \,n_{\text{med}} é o índice do meio em que a lente está imersa (aqui \,2{,}0).
  • \,R_1 é o raio de curvatura da primeira superfície (convexa para o lado do objeto normalmente leva R_1>0 com a convenção que o eixo óptico aponta para a direita).
  • \,R_2 é o raio da segunda superfície (para uma superfície convexa voltada para a direita, com a mesma convenção, \,R_2<0).
Para uma lente biconvexa simétrica, tomando a direção da luz da esquerda para a direita, temos R_1=+R e R_2=-R, com R o valor dado (isso é só a escolha da convenção de sinais; é padrão em exercícios).

Passo 3

Converto unidades e calculo os termos parciais:
  • Converter \,75\\ \mathrm{cm} para metros: \,75\\ \mathrm{cm}=0{,}75\\ \mathrm{m}. Logo \,R=0{,}75\\ \mathrm{m}.
  • Calculo o fator de índice:
\frac{n}{n_{\text{med}}}-1=\frac{1{,}5}{2{,}0}-1=0{,}75-1=-0{,}25.
  • Calculo \dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2}. Como R_1=+R e R_2=-R,
\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}=\frac{1}{R}-\frac{1}{-R}=\frac{1}{R}+\frac{1}{R}=\frac{2}{R}.
Substituindo R=0{,}75\\ \mathrm{m},
\frac{2}{R}=\frac{2}{0{,}75}=\frac{2}{3/4}=\frac{8}{3}\\ \mathrm{m}^{-1}\approx 2{,}666\ldots\\ \mathrm{m}^{-1}.

Passo 4

Agora multiplico os fatores e encontro 1/f:
\frac{1}{f}=\left(-0{,}25\right)\cdot\frac{8}{3}=-\frac{1}{4}\cdot\frac{8}{3}=-\frac{8}{12}=-\frac{2}{3}\\ \mathrm{m}^{-1}.
Logo
f=\left(-\frac{2}{3}\right)^{-1}=-\frac{3}{2}\\ \mathrm{m}=-1{,}5\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros: -1{,}5\\ \mathrm{m}=-150\\ \mathrm{cm}.
Interpretação física curta e motivadora: o resultado tem sinal negativo porque a lente tem índice \,n=1{,}5 menor que o índice do meio \,n_{\text{med}}=2{,}0; portanto, em vez de convergir como faria no ar, ela age como uma lente divergente no meio mais refringente. Relaxa — é só a mudança de sinal por causa do meio!

Passo 5

Comparando com as alternativas fornecidas, a que coincide com \,f=-150\\ \mathrm{cm} é a alternativa (d).

Resposta

d. f=-150\\ \mathrm{cm}

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