Uma lente biconvexa de vidro (
) possui raios de curvatura
(primeira face) e
(segunda face), com espessura central desprezível. Um objeto real está a
à frente da lente. Adote a convenção de sinais cartesiana.
DADOS
n_lente = 1,50 . n_meio = 1,00
R1 = +20 cm . R2 = - 30 cm . p = 40 cm
a) Aplique a equação do fabricante de lentes (Lensmaker’s equation) para calcular a distância focal f da lente.
b) Determine a posição da imagem q , sua natureza (real/virtual) e o aumento lateral M.
c) Refaça o cálculo tratando o sistema como dois dioptros esféricos sucessivos (espessura central nula) e confirme o resultado.
n_lente = 1,50 . n_meio = 1,00
R1 = +20 cm . R2 = - 30 cm . p = 40 cm
b) Determine a posição da imagem q , sua natureza (real/virtual) e o aumento lateral M.
c) Refaça o cálculo tratando o sistema como dois dioptros esféricos sucessivos (espessura central nula) e confirme o resultado.
Passo 1
O enunciado pede três coisas e dá estes dados (usei as informações numéricas do enunciado):
- Dados:
-
(índice do vidro) -
(ar) -
(raio da primeira face) -
(raio da segunda face) -
(posição do objeto, à frente da lente)
-
- Perguntas:
(a) Usar a equação do fabricante (lensmaker) para calcular a distância focalda lente.
(b) Determinar a posição da imagem, sua natureza (real/virtual) e o aumento lateral .
(c) Repetir o cálculo tratando o sistema como dois dióptrios esféricos sucessivos (espessura central nula) e confirmar o resultado.
Passo 2
Conceito / fórmula que vou usar para (a) — explicando bem:
- A equação do fabricante (lensmaker) para uma lente delgada em ar, relaciona o índice da lente
, os raios das superfícies e e a distância focal . A fórmula é:
- O que cada símbolo significa:
-
é a distância focal da lente (positiva para lente convergente). -
é o índice da lente (no nosso caso ); o meio externo é ar com índice . -
é o raio da primeira face medido segundo a convenção de sinais cartesiana (positivo se o centro de curvatura está à direita da superfície). Aqui . -
é o raio da segunda face com a mesma convenção; aqui (centro de curvatura à esquerda).
-
- Intuição simples: a expressão
dá a “potência” da lente; inverso disso é .
Agora aplico a fórmula com os números dados, passo a passo:
Logo
Passo 3
Resolver (b) — posição da imagem
, natureza e aumento
:
- Para lentes delgadas em ar usamos a equação do fabricante reduzida à equação da lente delgada (thin-lens equation):
- Aqui
é a distância do objeto até a lente; pela convenção cartesiana para lentes delgadas objetos reais à esquerda da lente têm . Portanto . - Já encontramos
(positivo → lente convergente).
Calcular
:
Fazendo a conta com denominador comum
:
Portanto
- Interpretação da sinalização:
significa que a imagem está do lado oposto ao objeto (à direita da lente), ou seja, é uma imagem real (formada por convergência real dos raios). Então a imagem é real e está à direita da lente.
Agora o aumento lateral
:
- Fórmula do aumento lateral para lente delgada:
- Substituindo:
- Interpretação do sinal e do valor:
- O sinal negativo indica que a imagem está invertida em relação ao objeto (imagem invertida).
- O módulo
indica que a imagem é vezes maior que o objeto (ampliação).
Passo 4
Refazendo (c) pelo método dos dois dióptrios esféricos sucessivos (explicando a teoria e confirmando):
- Fórmula para refração em uma superfície esférica do índice
para :
onde
-
é a distância do objeto à superfície (positiva se o objeto está no lado de incidência), -
é a distância da imagem gerada por essa superfície (positiva se no lado de transmissão), -
é o raio da superfície (convenção de sinais cartesiana). - Para duas superfícies consecutivas (espessura central desprezível), poderíamos aplicar essa fórmula duas vezes e eliminar a imagem intermediária. Uma maneira mais direta e muito usada é somar as “potências” das superfícies: cada superfície tem potência
Para lentes delgadas em ar, a potência total
é a soma das potências das duas superfícies; a distância focal
(em ar) é
que é exatamente a equação do fabricante — portanto os dois dióptrios sucessivos dão a mesma expressão para
. Vou calcular as potências das superfícies numericamente:
Potência da primeira superfície (ar
vidro):
Potência da segunda superfície (vidro
ar):
Potência total:
Logo
o mesmo resultado obtido em (a). Como a potência total coincide com a equação do fabricante, a imagem para o objeto
é calculada pela mesma equação da lente delgada:
o que leva de novo a
e
. Portanto o tratamento por dois dióptrios sucessivos confirma o resultado das partes (a) e (b).
Resposta
(a)
(b)
(imagem real, do outro lado da lente);
(imagem invertida e
vezes maior)
(c) Pelo somatório das potências dos dois dióptrios:
. Usando essa
obtém-se
e
, confirmando os resultados anteriores.