Uma lente biconvexa de vidro ( n=1,50 ) possui raios de curvatura \mathbf{\mathbf { R } _ { 1 }}=+\mathbf{2 0 ~ c m} (primeira face) e \mathbf{\mathbf { R } _ { 2 }}=-\mathbf{3 0 ~ c m} (segunda face), com espessura central desprezível. Um objeto real está a \mathbf{p}=\mathbf{4 0 ~ c m} à frente da lente. Adote a convenção de sinais cartesiana.
DADOS
n_lente = 1,50 . n_meio = 1,00
R1 = +20 cm . R2 = - 30 cm . p = 40 cm
a) Aplique a equação do fabricante de lentes (Lensmaker’s equation) para calcular a distância focal f da lente.
b) Determine a posição da imagem q , sua natureza (real/virtual) e o aumento lateral M.
c) Refaça o cálculo tratando o sistema como dois dioptros esféricos sucessivos (espessura central nula) e confirme o resultado.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e dá estes dados (usei as informações numéricas do enunciado):
  • Dados:
    • n_{\text{lente}}=1,50 (índice do vidro)
    • n_{\text{meio}}=1,00 (ar)
    • R_1=+20\\ \text{cm} (raio da primeira face)
    • R_2=-30\\ \text{cm} (raio da segunda face)
    • p=40\\ \text{cm} (posição do objeto, à frente da lente)
  • Perguntas:
    (a) Usar a equação do fabricante (lensmaker) para calcular a distância focal f da lente.
    (b) Determinar a posição da imagem q, sua natureza (real/virtual) e o aumento lateral M.
    (c) Repetir o cálculo tratando o sistema como dois dióptrios esféricos sucessivos (espessura central nula) e confirmar o resultado.

Passo 2

Conceito / fórmula que vou usar para (a) — explicando bem:
  • A equação do fabricante (lensmaker) para uma lente delgada em ar, relaciona o índice da lente n, os raios das superfícies R_1 e R_2 e a distância focal f. A fórmula é:
\frac{1}{f}=(n-1)\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right).
  • O que cada símbolo significa:
    • f é a distância focal da lente (positiva para lente convergente).
    • n é o índice da lente (no nosso caso n=1,50); o meio externo é ar com índice 1,00.
    • R_1 é o raio da primeira face medido segundo a convenção de sinais cartesiana (positivo se o centro de curvatura está à direita da superfície). Aqui R_1=+20\\ \text{cm}.
    • R_2 é o raio da segunda face com a mesma convenção; aqui R_2=-30\\ \text{cm} (centro de curvatura à esquerda).
  • Intuição simples: a expressão (n-1)(1/R_1 - 1/R_2) dá a “potência” da lente; inverso disso é f.
Agora aplico a fórmula com os números dados, passo a passo:
n-1 = 1{,}50-1{,}00 = 0{,}50.
\frac{1}{R_1}=\frac{1}{20\\ \text{cm}}=0{,}05\\ \text{cm}^{-1}, \qquad \frac{1}{R_2}=\frac{1}{-30\\ \text{cm}}=-0{,}033\,\overline{3}\\ \text{cm}^{-1}.
\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}=0{,}05-(-0{,}033\,\overline{3})=0{,}083\,\overline{3}=\frac{1}{12}\\ \text{cm}^{-1}.
\frac{1}{f}=(0{,}50)\cdot\frac{1}{12}=\frac{1}{24}\\ \text{cm}^{-1}.
Logo
f=24\\ \text{cm}.

Passo 3

Resolver (b) — posição da imagem q, natureza e aumento M:
  • Para lentes delgadas em ar usamos a equação do fabricante reduzida à equação da lente delgada (thin-lens equation):
\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}.
  • Aqui p é a distância do objeto até a lente; pela convenção cartesiana para lentes delgadas objetos reais à esquerda da lente têm p>0. Portanto p=40\\ \text{cm}.
  • Já encontramos f=24\\ \text{cm} (positivo → lente convergente).
Calcular q:
\frac{1}{q}=\frac{1}{f}-\frac{1}{p}=\frac{1}{24}-\frac{1}{40}.
Fazendo a conta com denominador comum 120:
\frac{1}{24}=\frac{5}{120},\qquad \frac{1}{40}=\frac{3}{120},
\frac{1}{q}=\frac{5}{120}-\frac{3}{120}=\frac{2}{120}=\frac{1}{60}.
Portanto
q=60\\ \text{cm}.
  • Interpretação da sinalização: q>0 significa que a imagem está do lado oposto ao objeto (à direita da lente), ou seja, é uma imagem real (formada por convergência real dos raios). Então a imagem é real e está 60\\ \text{cm} à direita da lente.
Agora o aumento lateral M:
  • Fórmula do aumento lateral para lente delgada:
M=-\frac{q}{p}.
  • Substituindo:
M=-\frac{60}{40}=-\frac{3}{2}=-1{,}5.
  • Interpretação do sinal e do valor:
    • O sinal negativo indica que a imagem está invertida em relação ao objeto (imagem invertida).
    • O módulo |M|=1{,}5 indica que a imagem é 1{,}5 vezes maior que o objeto (ampliação).

Passo 4

Refazendo (c) pelo método dos dois dióptrios esféricos sucessivos (explicando a teoria e confirmando):
  • Fórmula para refração em uma superfície esférica do índice n_1 para n_2:
\frac{n_2}{s'}-\frac{n_1}{s}=\frac{n_2-n_1}{R},
onde
  • s é a distância do objeto à superfície (positiva se o objeto está no lado de incidência),
  • s' é a distância da imagem gerada por essa superfície (positiva se no lado de transmissão),
  • R é o raio da superfície (convenção de sinais cartesiana).
  • Para duas superfícies consecutivas (espessura central desprezível), poderíamos aplicar essa fórmula duas vezes e eliminar a imagem intermediária. Uma maneira mais direta e muito usada é somar as “potências” das superfícies: cada superfície tem potência
\Phi=\frac{n_{\text{após}}-n_{\text{antes}}}{R}\quad(\text{unidade } \text{cm}^{-1}).ó
Para lentes delgadas em ar, a potência total \Phi_{\text{total}} é a soma das potências das duas superfícies; a distância focal f (em ar) é
\frac{1}{f}=\Phi_{\text{total}}=\frac{n-1}{R_1}+\frac{1-n}{R_2}=(n-1)\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right),
que é exatamente a equação do fabricante — portanto os dois dióptrios sucessivos dão a mesma expressão para 1/f. Vou calcular as potências das superfícies numericamente:
Potência da primeira superfície (ar \to vidro):
\Phi_1=\frac{n_{\text{vidro}}-n_{\text{ar}}}{R_1}=\frac{1{,}50-1{,}00}{20\\ \text{cm}}=\frac{0{,}50}{20}=0{,}025\\ \text{cm}^{-1}.
Potência da segunda superfície (vidro \to ar):
\Phi_2=\frac{n_{\text{ar}}-n_{\text{vidro}}}{R_2}=\frac{1{,}00-1{,}50}{-30\\ \text{cm}}=\frac{-0{,}50}{-30}=0{,}016\,\overline{6}\\ \text{cm}^{-1}.
Potência total:
\Phi_{\text{total}}=\Phi_1+\Phi_2=0{,}025+0{,}016\,\overline{6}=0{,}041\,\overline{6}=\frac{1}{24}\\ \text{cm}^{-1}.
Logo
f=\frac{1}{\Phi_{\text{total}}=1/24}=24\\ \text{cm},
o mesmo resultado obtido em (a). Como a potência total coincide com a equação do fabricante, a imagem para o objeto p=40\\ \text{cm} é calculada pela mesma equação da lente delgada:
\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q},
o que leva de novo a q=60\\ \text{cm} e M=-1{,}5. Portanto o tratamento por dois dióptrios sucessivos confirma o resultado das partes (a) e (b).

Resposta

(a) f=24\\ \text{cm}
(b) q=60\\ \text{cm} (imagem real, do outro lado da lente); M=-1{,}5 (imagem invertida e 1{,}5 vezes maior)
(c) Pelo somatório das potências dos dois dióptrios: \Phi_{\text{total}}=0{,}025+0{,}016\,\overline{6}=1/24\\ \text{cm}^{-1}\Rightarrow f=24\\ \text{cm}. Usando essa f obtém-se q=60\\ \text{cm} e M=-1{,}5, confirmando os resultados anteriores.

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