Em um espectrofotômetro utilizado no laboratório de controle de qualidade de uma fábrica de cacau em Ilhéus, uma lâmina de quartzo fundido (espessura
) é atravessada pela luz branca. O índice de refração do quartzo varia com o comprimento de onda:
e
. O ângulo de incidência é
.
DADOS
e = 5,0 mm • }\mp@subsup{0}{1}{}=4\mp@subsup{5}{}{\circ
n(violeta, 400 nm) = 1,470 . n(vermelho, 700 nm) = 1,455
a) Calcule o deslocamento lateral para a luz violeta ( 400 nm ) e para a vermelha
.
e = 5,0 mm • }\mp@subsup{0}{1}{}=4\mp@subsup{5}{}{\circ
n(violeta, 400 nm) = 1,470 . n(vermelho, 700 nm) = 1,455
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede o deslocamento lateral para duas cores:
- Espessura da lâmina:
. - Ângulo de incidência (no ar):
. - Índice de refração do quartzo para luz violeta (
): . - Índice de refração do quartzo para luz vermelha (
): . - Pressuposto físico: a lâmina está no ar, cuja intensidade refrativa pode ser tomada como
.
O que se pede: calcular o deslocamento lateral da luz ao atravessar a lâmina para
e
.
Passo 2
Ideia física e equação básica (Lei de Snell). Quando um raio sai do ar (
) e entra no quartzo (
), o ângulo refratado
dentro do quartzo obedece à Lei de Snell:
Aqui:
-
é o índice do meio de incidência (ar, ). -
é o ângulo de incidência (medido em relação à normal). -
é o índice do quartzo (depende da cor). -
é o ângulo dentro do quartzo (medido em relação à normal).
Vou usar essa fórmula para obter
para cada comprimento de onda.
Passo 3
Derivação da fórmula do deslocamento lateral. Considere um prato plano-paralelo de espessura
. O raio entra com
, refrata para
e sai paralelo ao raio incidente (mesmo ângulo
ao sair), porém deslocado lateralmente. A derivação geométrica rápida:
- A distância percorrida pelo raio dentro do vidro, medida ao longo da direção do raio, tem componente normal igual a
. O comprimento da trajetória dentro do vidro é . - A componente lateral (paralela à faces) dessa trajetória é
. - Se o raio não tivesse sido refratado (continuasse reto), a interseção com a face de saída estaria deslocada lateralmente por
projetada; a diferença entre essas duas projeções dá o deslocamento lateral final. Fazendo a conta com identidade trigonométrica:
Portanto a fórmula útil é
onde:
-
é o deslocamento lateral desejado, -
é a espessura medida normalmente, -
é o ângulo de incidência no ar, -
é o ângulo refratado dentro do quartzo (obtido pela Lei de Snell).
Passo 4
Cálculo para a luz violeta (
,
) — encontrar
.
Aplicando Snell:
Calcule
. Então
Agora
.
Calcule
(vai aparecer na fórmula do deslocamento):
Passo 5
Cálculo do deslocamento para violeta usando a fórmula:
Substituindo valores (
,
,
):
Logo
Passo 6
Cálculo para a luz vermelha (
,
) — encontrar
.
Aplicando Snell:
Logo
E
Passo 7
Cálculo do deslocamento para a vermelha:
Então
Passo 8
Interpretação breve e incentivo: as duas cores saem praticamente paralelas à entrada (placa plana), mas com deslocamentos laterais ligeiramente diferentes devido à dispersão (índice depende do comprimento de onda). A diferença é pequena (algumas dezenas de micrômetros), mas suficiente para efeitos espectrais em instrumentos. Vai dando certo — já conseguiu entender e calcular passo a passo!