Em um espectrofotômetro utilizado no laboratório de controle de qualidade de uma fábrica de cacau em Ilhéus, uma lâmina de quartzo fundido (espessura \mathrm{e}=5, \mathrm{omm} ) é atravessada pela luz branca. O índice de refração do quartzo varia com o comprimento de onda: \mathrm{n}(400 \mathrm{~nm})=1,470 e \mathrm{n}(700 \mathrm{~nm})=1,455. O ângulo de incidência é \boldsymbol{\theta}_{\mathbf{1}}=\mathbf{4 5}^{\boldsymbol{\circ}}.
DADOS
e = 5,0 mm • }\mp@subsup{0}{1}{}=4\mp@subsup{5}{}{\circ
n(violeta, 400 nm) = 1,470 . n(vermelho, 700 nm) = 1,455
a) Calcule o deslocamento lateral para a luz violeta ( 400 nm ) e para a vermelha (700 \mathrm{~nm}).

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede o deslocamento lateral para duas cores:
  • Espessura da lâmina: e=5,0\\ \mathrm{mm}.
  • Ângulo de incidência (no ar): \theta_1=45^\circ.
  • Índice de refração do quartzo para luz violeta ( 400\\ \mathrm{nm}): n_{\text{violeta}}=1,470.
  • Índice de refração do quartzo para luz vermelha ( 700\\ \mathrm{nm}): n_{\text{vermelha}}=1,455.
  • Pressuposto físico: a lâmina está no ar, cuja intensidade refrativa pode ser tomada como n_{\text{ar}}=1,00.
O que se pede: calcular o deslocamento lateral da luz ao atravessar a lâmina para 400\\ \mathrm{nm} e 700\\ \mathrm{nm}.

Passo 2

Ideia física e equação básica (Lei de Snell). Quando um raio sai do ar ( n_{\text{ar}}) e entra no quartzo ( n), o ângulo refratado \theta_2 dentro do quartzo obedece à Lei de Snell:
n_{\text{ar}}\sin\theta_1 = n\sin\theta_2.
Aqui:
  • n_{\text{ar}} é o índice do meio de incidência (ar, =1,00).
  • \theta_1 é o ângulo de incidência (medido em relação à normal).
  • n é o índice do quartzo (depende da cor).
  • \theta_2 é o ângulo dentro do quartzo (medido em relação à normal).
Vou usar essa fórmula para obter \theta_2 para cada comprimento de onda.

Passo 3

Derivação da fórmula do deslocamento lateral. Considere um prato plano-paralelo de espessura e. O raio entra com \theta_1, refrata para \theta_2 e sai paralelo ao raio incidente (mesmo ângulo \theta_1 ao sair), porém deslocado lateralmente. A derivação geométrica rápida:
  • A distância percorrida pelo raio dentro do vidro, medida ao longo da direção do raio, tem componente normal igual a e. O comprimento da trajetória dentro do vidro é \dfrac{e}{\cos\theta_2}.
  • A componente lateral (paralela à faces) dessa trajetória é \dfrac{e}{\cos\theta_2}\sin\theta_2 = e\tan\theta_2.
  • Se o raio não tivesse sido refratado (continuasse reto), a interseção com a face de saída estaria deslocada lateralmente por e\tan\theta_1 projetada; a diferença entre essas duas projeções dá o deslocamento lateral final. Fazendo a conta com identidade trigonométrica:
\delta = e\frac{\sin\theta_1\cos\theta_2 - \cos\theta_1\sin\theta_2}{\cos\theta_2} = e\frac{\sin(\theta_1-\theta_2)}{\cos\theta_2}.
Portanto a fórmula útil é
\boxed{\delta = e\,\dfrac{\sin(\theta_1-\theta_2)}{\cos\theta_2}}
onde:
  • \delta é o deslocamento lateral desejado,
  • e é a espessura medida normalmente,
  • \theta_1 é o ângulo de incidência no ar,
  • \theta_2 é o ângulo refratado dentro do quartzo (obtido pela Lei de Snell).

Passo 4

Cálculo para a luz violeta ( 400\\ \mathrm{nm}, n=1,470) — encontrar \theta_2.
Aplicando Snell:
\sin\theta_2 = \dfrac{n_{\text{ar}}}{n}\sin\theta_1 = \dfrac{1,00}{1,470}\sin 45^\circ.
Calcule \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,70710678. Então
\sin\theta_2 = \dfrac{0,70710678}{1,470}\approx 0,48103.
Agora \theta_2 = \arcsin(0,48103)\approx 28,75^\circ.
Calcule \cos\theta_2 (vai aparecer na fórmula do deslocamento):
\cos\theta_2 = \sqrt{1-\sin^2\theta_2} = \sqrt{1-(0,48103)^2}\approx 0,87697.

Passo 5

Cálculo do deslocamento para violeta usando a fórmula:
\delta_{\text{violeta}} = e\,\dfrac{\sin(\theta_1-\theta_2)}{\cos\theta_2}.
Substituindo valores ( e=5,0\\ \mathrm{mm}, \theta_1=45^\circ, \theta_2\approx28,75^\circ):
\sin(\theta_1-\theta_2)=\sin(45^\circ-28,75^\circ)=\sin(16,25^\circ)\approx 0,2797.
Logo
\delta_{\text{violeta}} = 5,0\cdot\dfrac{0,2797}{0,87697}\\ \mathrm{mm} \approx 5,0\cdot 0,3189\\ \mathrm{mm} \approx 1,59\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Cálculo para a luz vermelha ( 700\\ \mathrm{nm}, n=1,455) — encontrar \theta_2.
Aplicando Snell:
\sin\theta_2 = \dfrac{1,00}{1,455}\sin 45^\circ = \dfrac{0,70710678}{1,455}\approx 0,48600.
Logo
\theta_2 = \arcsin(0,48600)\approx 29,07^\circ.
E
\cos\theta_2 = \sqrt{1-(0,48600)^2}\approx 0,87374.

Passo 7

Cálculo do deslocamento para a vermelha:
\sin(\theta_1-\theta_2)=\sin(45^\circ-29,07^\circ)=\sin(15,93^\circ)\approx 0,2746.
Então
\delta_{\text{vermelha}} = 5,0\cdot\dfrac{0,2746}{0,87374}\\ \mathrm{mm} \approx 5,0\cdot 0,3143\\ \mathrm{mm} \approx 1,57\\ \mathrm{mm}.

Passo 8

Interpretação breve e incentivo: as duas cores saem praticamente paralelas à entrada (placa plana), mas com deslocamentos laterais ligeiramente diferentes devido à dispersão (índice depende do comprimento de onda). A diferença é pequena (algumas dezenas de micrômetros), mas suficiente para efeitos espectrais em instrumentos. Vai dando certo — já conseguiu entender e calcular passo a passo!

Resposta

\delta_{\text{violeta}} \approx 1,59\\ \mathrm{mm}
\delta_{\text{vermelha}} \approx 1,57\\ \mathrm{mm}

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