Um prisma equilátero (ângulo de abertura
) de vidro com
é usado em um sistema de separação espectral. Um raio monocromático atravessa o prisma em condição de desvio mínimo δ_min.
DADOS
A = 60 (prisma equilátero) . n = 1,50
a) Prove que, na condição de desvio mínimo, o raio dentro do prisma é paralelo à base.
b) Calcule o ângulo de desvio mínimo
min e o ângulo de incidência correspondente
.
c) Usando a fórmula do prisma, determine o índice de refração necessário para obter
com o mesmo ângulo
.
A = 60 (prisma equilátero) . n = 1,50
b) Calcule o ângulo de desvio mínimo
c) Usando a fórmula do prisma, determine o índice de refração necessário para obter
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Ângulo de abertura do prisma:
. - Índice de refração do prisma (vidro):
. - O raio monocromático atravessa o prisma em condição de desvio mínimo
.
- Ângulo de abertura do prisma:
-
O enunciado pede:
a) Provar que, na condição de desvio mínimo, o raio dentro do prisma é paralelo à base do prisma.
b) Calcular o ângulo de desvio mínimoe o ângulo de incidência correspondente (isto é, o ângulo de incidência na primeira face) para os dados acima.
c) Usando a fórmula do prisma, determinar o índice de refração necessário para obtercom o mesmo .
Passo 2
Conceitos e relações básicas que vou usar (explicando o que cada variável representa):
- Lei de Snell (refração entre ar e vidro). Se um raio passa do ar (índice
) para o prisma (índice ), com ângulo de incidência na primeira face (medido do normal) e ângulo refratado dentro do prisma, então a Lei de Snell diz:
Aqui
é o ângulo fora do prisma (no ar) e
é o correspondente dentro do prisma.
- Geometria interna do prisma triangular: os dois ângulos de refração dentro do prisma satisfazem
pois os dois traços do raio dentro do prisma se somam para atravessar o ângulo de abertura do prisma
(essa é uma relação geométrica simples do triângulo).
- Definição do ângulo de desvio
: o desvio total sofrido pelo raio ao atravessar o prisma é
onde
é o ângulo de saída na segunda face (medido do normal exterior nessa face). Assim, na condição de desvio mínimo
procura-se o mínimo possível dessa expressão ao variar a incidência.
Essas três relações (Snell,
e
) são o conjunto mínimo para atacar a questão.
Passo 3
Provar que, na condição de desvio mínimo, o caminho é simétrico (
e
) — ideia e demonstração.
-
Intuição física simples e argumento de simetria: para um dado prisma e dado índice
, ao variar o valor de ajusta-se de modo a satisfazer Snell em cada face e a geometria interna. A expressão do desvio é uma função contínua de . Se invertermos o sentido do raio (trocar entrada e saída), a configuração física é a mesma e o desvio permaneceu o mesmo; portanto a configuração simétrica (onde entrada e saída são idênticas) caracteriza um ponto extremo da função . Esse extremo é um mínimo físico (se tomarmos ângulos pequenos, o desvio diminui até esse ponto e depois aumenta), então na condição de desvio mínimo espera-se a simetria. -
Demonstração rápida via cálculo (esquemática, sem algebra longa): escrevendo
e com , obtém-se . Derivando em relação a e impondo leva à igualdade (ou equivalentemente ), porque as expressões obtidas pela derivação só se anulam quando os dois termos simétricos se igualam. (A conta algébrica é direta mas envolve diferenciação de arcoseno; o resultado final é a igualdade dos ângulos de incidência e saída no extremo.) -
Conclusão deste passo: na condição de desvio mínimo vale
Passo 4
Da simetria para a relação numérica entre os ângulos internos: como
e
, segue
Isso é uma relação geral válida para qualquer prisma em desvio mínimo.
Agora vou relacionar isso com o fato de o raio interno ser paralelo à base para o prisma equilátero.
- Geometria do prisma (base horizontal): em um triângulo isósceles com ângulo do vértice
, os ângulos da base são . A normal à face forma com a base um ângulo igual a menos o ângulo da face com a base; fazendo as contas (ou observando a simetria), conclui-se que o ângulo entre a normal da face e a base é exatamente . Em termos práticos:
- Agora, o raio dentro do prisma forma com a normal da face o ângulo
. Então o ângulo entre o raio interno e a base é a diferença entre o ângulo da normal com a base e , ou seja
Mas em desvio mínimo acabamos de ver que
. Portanto
ou seja, o raio interno é paralelo à base.
- Conclusão do item (a): ficou provado que, em desvio mínimo, como
, o raio dentro do prisma é paralelo à base. (Isso vale para qualquer prisma; quando isso resulta em e o mesmo raciocínio.)
Passo 5
Agora calculo os valores pedidos no item (b) para o caso numérico
e
.
- Em desvio mínimo temos
. Para ,
- Aplicando a Lei de Snell na primeira face (ar
vidro):
Substituindo números:
Portanto
Calculando numericamente:
- O desvio mínimo é, por simetria,
. Assim
(Arredondei os valores a duas casas decimais; se quiser mais casas posso fornecer.)
Passo 6
Item (c): derivar a fórmula do prisma em condição de desvio mínimo e usar para obter
dado
e
.
-
Derivação curta da fórmula do prisma em desvio mínimo:
- Em desvio mínimo temos
. Da definição do desvio segue , ou seja
- Pela Lei de Snell em desvio mínimo (usando
):
- Substituindo
obtém-se a fórmula clássica do prisma:
- Em desvio mínimo temos
-
Agora aplico com
e : - Primeiro calcule
. - E
. - Assim
- Numericamente
, portanto
- Primeiro calcule
Resposta
a) Sim — o raio dentro do prisma é paralelo à base na condição de desvio mínimo.
b)
c)
b)
c)