Um prisma equilátero (ângulo de abertura \mathrm{A}=60^{\circ} ) de vidro com \mathrm{n}=1,50 é usado em um sistema de separação espectral. Um raio monocromático atravessa o prisma em condição de desvio mínimo δ_min.
DADOS
A = 60 (prisma equilátero) . n = 1,50
a) Prove que, na condição de desvio mínimo, o raio dentro do prisma é paralelo à base.
b) Calcule o ângulo de desvio mínimo \delta \_min e o ângulo de incidência correspondente \theta_{1}.
c) Usando a fórmula do prisma, determine o índice de refração necessário para obter \delta \_\mathrm{min}=45^{\circ} com o mesmo ângulo \mathrm{A}=60^{\circ}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Ângulo de abertura do prisma: A=60^\circ.
    • Índice de refração do prisma (vidro): n=1,50.
    • O raio monocromático atravessa o prisma em condição de desvio mínimo \delta_{\min}.
  • O enunciado pede:
    a) Provar que, na condição de desvio mínimo, o raio dentro do prisma é paralelo à base do prisma.
    b) Calcular o ângulo de desvio mínimo \delta_{\min} e o ângulo de incidência correspondente \theta_{1} (isto é, o ângulo de incidência na primeira face) para os dados acima.
    c) Usando a fórmula do prisma, determinar o índice de refração necessário para obter \delta_{\min}=45^\circ com o mesmo A=60^\circ.

Passo 2

Conceitos e relações básicas que vou usar (explicando o que cada variável representa):
  • Lei de Snell (refração entre ar e vidro). Se um raio passa do ar (índice n_0=1) para o prisma (índice n), com ângulo de incidência na primeira face \theta_{1} (medido do normal) e ângulo refratado \;r_1 dentro do prisma, então a Lei de Snell diz:
\sin(\theta_{1}) = n \sin(r_{1}).
Aqui \theta_{1} é o ângulo fora do prisma (no ar) e r_{1} é o correspondente dentro do prisma.
  • Geometria interna do prisma triangular: os dois ângulos de refração dentro do prisma satisfazem
r_{1}+r_{2}=A,
pois os dois traços do raio dentro do prisma se somam para atravessar o ângulo de abertura do prisma A (essa é uma relação geométrica simples do triângulo).
  • Definição do ângulo de desvio \delta: o desvio total sofrido pelo raio ao atravessar o prisma é
\delta = \theta_{1}+\theta_{2}-A,
onde \theta_{2} é o ângulo de saída na segunda face (medido do normal exterior nessa face). Assim, na condição de desvio mínimo \delta_{\min} procura-se o mínimo possível dessa expressão ao variar a incidência.
Essas três relações (Snell, r_1+r_2=A e \delta=\theta_1+\theta_2-A) são o conjunto mínimo para atacar a questão.

Passo 3

Provar que, na condição de desvio mínimo, o caminho é simétrico ( \theta_{1}=\theta_{2} e r_{1}=r_{2}) — ideia e demonstração.
  • Intuição física simples e argumento de simetria: para um dado prisma e dado índice n, ao variar \theta_{1} o valor de \theta_{2} ajusta-se de modo a satisfazer Snell em cada face e a geometria interna. A expressão do desvio \delta(\theta_{1}) é uma função contínua de \theta_{1}. Se invertermos o sentido do raio (trocar entrada e saída), a configuração física é a mesma e o desvio permaneceu o mesmo; portanto a configuração simétrica (onde entrada e saída são idênticas) caracteriza um ponto extremo da função \delta(\theta_{1}). Esse extremo é um mínimo físico (se tomarmos ângulos pequenos, o desvio diminui até esse ponto e depois aumenta), então na condição de desvio mínimo espera-se a simetria.
  • Demonstração rápida via cálculo (esquemática, sem algebra longa): escrevendo \theta_{1}=\arcsin(n\sin r_{1}) e \theta_{2}=\arcsin(n\sin r_{2}) com r_{2}=A-r_{1}, obtém-se \delta(r_{1})=\arcsin(n\sin r_{1})+\arcsin(n\sin(A-r_{1}))-A. Derivando \delta em relação a r_{1} e impondo \mathrm{d}\delta/\mathrm{d}r_{1}=0 leva à igualdade \theta_{1}=\theta_{2} (ou equivalentemente r_{1}=r_{2}), porque as expressões obtidas pela derivação só se anulam quando os dois termos simétricos se igualam. (A conta algébrica é direta mas envolve diferenciação de arcoseno; o resultado final é a igualdade dos ângulos de incidência e saída no extremo.)
  • Conclusão deste passo: na condição de desvio mínimo vale
\theta_{1}=\theta_{2} \qquad\text{e}\qquad r_{1}=r_{2}.

Passo 4

Da simetria para a relação numérica entre os ângulos internos: como r_{1}+r_{2}=A e r_{1}=r_{2}, segue
r_{1}=r_{2}=\frac{A}{2}.
Isso é uma relação geral válida para qualquer prisma em desvio mínimo.
Agora vou relacionar isso com o fato de o raio interno ser paralelo à base para o prisma equilátero.
  • Geometria do prisma (base horizontal): em um triângulo isósceles com ângulo do vértice A, os ângulos da base são (180^\circ-A)/2. A normal à face forma com a base um ângulo igual a 90^\circ menos o ângulo da face com a base; fazendo as contas (ou observando a simetria), conclui-se que o ângulo entre a normal da face e a base é exatamente A/2. Em termos práticos:
\text{o ângulo entre a normal da face e a base} = \frac{A}{2}.â
  • Agora, o raio dentro do prisma forma com a normal da face o ângulo r_{1}. Então o ângulo entre o raio interno e a base é a diferença entre o ângulo da normal com a base e r_{1}, ou seja
\text{ângulo entre o raio e a base} = \frac{A}{2}-r_{1}.â
Mas em desvio mínimo acabamos de ver que r_{1}=A/2. Portanto
\text{ângulo entre o raio e a base} = \frac{A}{2}-\frac{A}{2}=0,â
ou seja, o raio interno é paralelo à base.
  • Conclusão do item (a): ficou provado que, em desvio mínimo, como r_{1}=A/2, o raio dentro do prisma é paralelo à base. (Isso vale para qualquer prisma; quando A=60^\circ isso resulta em r_1=30^\circ e o mesmo raciocínio.)

Passo 5

Agora calculo os valores pedidos no item (b) para o caso numérico A=60^\circ e n=1,50.
  • Em desvio mínimo temos r_{1}=A/2. Para A=60^\circ,
r_{1}=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ.
  • Aplicando a Lei de Snell na primeira face (ar \to vidro):
\sin(\theta_{1}) = n \sin(r_{1}).
Substituindo números:
\sin(\theta_{1}) = 1,50\cdot\sin(30^\circ) = 1,50\cdot 0,5 = 0,75.
Portanto
\theta_{1} = \arcsin(0,75).
Calculando numericamente:
\theta_{1}\approx 48,59^\circ.
  • O desvio mínimo é, por simetria, \delta_{\min}=2\theta_{1}-A. Assim
\delta_{\min}=2\cdot 48,59^\circ - 60^\circ \approx 37,18^\circ.
(Arredondei os valores a duas casas decimais; se quiser mais casas posso fornecer.)

Passo 6

Item (c): derivar a fórmula do prisma em condição de desvio mínimo e usar para obter n dado \delta_{\min}=45^\circ e A=60^\circ.
  • Derivação curta da fórmula do prisma em desvio mínimo:
    • Em desvio mínimo temos \theta_{1}=\theta_{2}. Da definição do desvio \delta=\theta_{1}+\theta_{2}-A segue \delta_{\min}=2\theta_{1}-A, ou seja
    \theta_{1}=\frac{A+\delta_{\min}}{2}.
    • Pela Lei de Snell em desvio mínimo (usando r_{1}=A/2):
    \sin(\theta_{1})=n\sin\left(\frac{A}{2}\right).
    • Substituindo \theta_{1} obtém-se a fórmula clássica do prisma:
    n=\frac{\sin\!\left(\dfrac{A+\delta_{\min}}{2}\right)}{\sin\!\left(\dfrac{A}{2}\right)}.
  • Agora aplico com A=60^\circ e \delta_{\min}=45^\circ:
    • Primeiro calcule \dfrac{A+\delta_{\min}}{2}=\dfrac{60^\circ+45^\circ}{2}=52,5^\circ.
    • E \sin\!\left(\dfrac{A}{2}\right)=\sin(30^\circ)=0,5.
    • Assim
    n=\frac{\sin(52,5^\circ)}{0,5}=2\sin(52,5^\circ).
    • Numericamente \sin(52,5^\circ)\approx 0,78801, portanto
    n\approx 1,576.

Resposta

a) Sim — o raio dentro do prisma é paralelo à base na condição de desvio mínimo.
b) \delta_{\min}\approx 37,18^\circ
\theta_{1}\approx 48,59^\circ
c) n\approx 1,576

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