Um sistema óptico de monitoramento de processos em uma refinaria é composto por duas lentes delgadas coaxiais: uma lente convergente
de distância focal
e uma lente divergente L2 com
, separadas por
. Um objeto está a
à esquerda de L1. O sistema opera no ar (
).
DADOS
f1 = +15 cm . f2 . d = 8 cm . p1 = 30 cm
a) Calcule a posição da imagem intermediária formada por L1 e use-a como objeto para L 2 ; determine a posição da imagem final q2.
b) Calcule o aumento transversal total
e indique se a imagem final é direita ou invertida, real ou virtual.
c) Calcule a distância focal equivalente f_eq do sistema combinado usando
e verifique a consistência. Discuta como ajustar
ou
para configuração telescópica (imagem no infinito).
f1 = +15 cm . f2 . d = 8 cm . p1 = 30 cm
b) Calcule o aumento transversal total
c) Calcule a distância focal equivalente f_eq do sistema combinado usando
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (peguei todos estes valores do enunciado):
-
. -
. - distância entre as lentes
. - objeto inicial a
à esquerda de .
O que é pedido:
a) Calcular a posição da imagem intermediária formada por e usar essa imagem como objeto para
; determinar a posição da imagem final
(posição relativa a
e, quando útil, relativa a
).
b) Calcular o aumento transversal total e dizer se a imagem final é direita ou invertida, real ou virtual.
a) Calcular a posição da imagem intermediária formada por
b) Calcular o aumento transversal total
c) Calcular a distância focal equivalente
usando
verificar consistência e discutir como ajustar
ou
para obter configuração telescópica (imagem no infinito).
Passo 2
Revisão rápida da fórmula que vamos usar (claro e passo a passo):
- Equação do foco de lente delgada:
onde:
-
é a distância do objeto à lente (positiva se o objeto estiver do lado de entrada da luz), -
é a distância da imagem à lente (positiva se a imagem estiver do lado de saída da luz), -
é a distância focal (positiva para lente convergente, negativa para divergente). - Aumento transversal de uma lente:
- O sinal do
indica orientação: imagem direita (mesma orientação que o objeto), imagem invertida. - O módulo
é o fator de escala do tamanho.
- O sinal do
Agora aplicamos isso à lente
.
Passo 3
Imagem formada por
:
Usando a equação das lentes com
e
:
Calcule:
Interpretação: a imagem formada por
está a
à direita de
. Como
, é uma imagem real e invertida em relação ao objeto inicial.
Posição relativa a
:
está a
à direita de
. Logo a imagem intermediária está a
à direita de
.
Passo 4
Determinar o objeto para
(sinais e interpretação):
Para
a luz incide pela esquerda. O "objeto para
" é a imagem intermediária, que está do lado direito de
. Pela convenção usada, quando o objeto está do lado oposto à entrada de luz (a direita, no caso), o
fica negativo e seu valor absoluto é a distância entre
e esse objeto. Assim:
(Explicando: o objeto está 22 cm à direita de
, ou seja, do lado em que saem os raios; isso é um objeto virtual para
, por isso
.)
Agora aplicamos a equação da lente para
com
:
Substituindo:
Portanto
Interpretação de sinal:
indica que a imagem final está à direita de
(lado de saída da luz) — logo é uma imagem real (raios saem e convergem para formar a imagem). Em distância relativa a
a posição é
à direita de
.
Passo 5
Cálculo dos aumentos
,
e do aumento total
:
- Para
:
Interpretação:
significa imagem invertida e de mesmo tamanho gerada por
.
- Para
:
Observação:
indica que a imagem formada por
é direita em relação ao objeto que incide sobre
(esse “objeto” era virtual e invertido por
— cuidado com referências).
- Aumento total:
Interpretação final:
- Sinal negativo de
indica que a imagem final é invertida em relação ao objeto original. - Módulo
é o fator de ampliação (a imagem final é aproximadamente vezes maior). - Como
, a imagem final é real (formada no lado de saída da luz).
Passo 6
Cálculo da distância focal equivalente
e verificação:
Usando a fórmula dada:
Substituindo números:
Colocando em denominador comum
:
Logo
Verificação/consistência (explicação): a fórmula foi aplicada corretamente e o resultado pode ser escrito também como
o que dá o mesmo resultado numérico. Observação importante sobre “verificação prática”: o valor de
caracteriza a potência combinada do par de lentes, mas a posição da imagem final obtida pela aplicação sequencial das lentes que fizemos depende também do deslocamento das superfícies (planos principais). Ou seja, para usar diretamente a fórmula da lente simples
seria necessário medir
e
a partir dos planos principais equivalentes (não necessariamente a partir da posição de
). Por isso o valor de
está consistente com a potência combinada do sistema, mesmo que a posição numérica da imagem medida a partir de
não seja obtida pela aplicação direta da equação da lente simples sem ajustar a origem para os planos principais.
Passo 7
Como ajustar
ou
para configuração telescópica (imagem no infinito) — método e condição prática:
Condição matemática para que a imagem final fique no infinito: na equação da lente para
,
se queremos
então
, isto é
Isto significa: o objeto “visto” por
(a imagem intermediária de
) deve estar no plano focal de
. Em termos geométricos (usando as posições que já calculamos), a condição é
onde
é a imagem produzida por
medida a partir de
. Essa equação pode ser usada de duas maneiras práticas:
- Ajustar
mantendo e fixos: escolher . No nosso caso e , logo seria preciso (positivo) — isto é, trocar por uma lente convergente com para obter imagem final no infinito. - Ajustar
(ou a posição de ) para que . Resolvendo para com fixo obtém-se a necessária; no nosso exemplo, ao tentar essa rota obtém-se negativo (o que significa trocar por lente divergente), portanto é menos prático aqui. Em geral, para telescópio típico com duas lentes convergentes o ajuste usual é escolher (se os sinais forem positivos e o objeto estiver em infinito); na configuração geral a condição acima é a forma correta para que transforme o feixe em raios paralelos (imagem no infinito).
Pequena interpretação física e dica de prova:
- Para produzir imagem no infinito após
, os raios que chegam a devem sair paralelos; isso acontece quando o objeto para está em seu plano focal. - Então, ou se escolhe
para coincidir com as posições focais ou se troca uma das lentes por outra com foco adequado (mais prático: trocar para no nosso exemplo).
Resposta
a) Imagem intermediária de
:
à direita de
.
Imagem final (relativa a ):
à direita de
(ou
à direita de
).\n
b) ,
, aumento total
. A imagem final é invertida (sinal negativo de
), real (porque
) e ampliada por um fator
.\n
c) . Consistência: a fórmula fornecida e a forma
dão o mesmo valor; notar que para usar
diretamente nas fórmulas de imagem é preciso referir-se aos planos principais do sistema (não necessariamente à posição de
). Para obter configuração telescópica (imagem no infinito) requer que o objeto visto por
esteja em seu plano focal, i.e.
. Com
e
isso exige
(ou alternativamente ajustar
para que
).
Imagem final (relativa a
b)
c)