Um sistema óptico de monitoramento de processos em uma refinaria é composto por duas lentes delgadas coaxiais: uma lente convergente L_{1} de distância focal \mathbf{f}_{1}= \mathbf{+ 1 5 ~ c m} e uma lente divergente L2 com \mathbf{\mathbf { f } _ { 2 }}=-\mathbf{2 5 ~ c m}, separadas por \mathbf{d = 8 ~ c m}. Um objeto está a \mathbf{p 1}=\mathbf{3 0 ~ c m} à esquerda de L1. O sistema opera no ar ( \mathrm{n}=1, \mathrm{OO} ).
DADOS
f1 = +15 cm . f2 . d = 8 cm . p1 = 30 cm
a) Calcule a posição da imagem intermediária formada por L1 e use-a como objeto para L 2 ; determine a posição da imagem final q2.
b) Calcule o aumento transversal total \mathrm{M}=\mathrm{M}_{1} \times \mathrm{M}_{2} e indique se a imagem final é direita ou invertida, real ou virtual.
c) Calcule a distância focal equivalente f_eq do sistema combinado usando 1 / \mathrm{f} \_\mathrm{eq} =1 / \mathrm{f}_{1}+1 / \mathrm{f}_{2}-\mathrm{d} /\left(\mathrm{f}_{1} \mathrm{f}_{2}\right) e verifique a consistência. Discuta como ajustar \mathrm{f}_{1} ou \mathrm{f}_{2} para configuração telescópica (imagem no infinito).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei todos estes valores do enunciado):
  • f_{1}=+15~\text{cm}.
  • f_{2}=-25~\text{cm}.
  • distância entre as lentes d=8~\text{cm}.
  • objeto inicial a p_{1}=30~\text{cm} à esquerda de L_{1}.
O que é pedido:
a) Calcular a posição da imagem intermediária formada por L_{1} e usar essa imagem como objeto para L_{2}; determinar a posição da imagem final q_{2} (posição relativa a L_{2} e, quando útil, relativa a L_{1}).
b) Calcular o aumento transversal total M=M_{1}\times M_{2} e dizer se a imagem final é direita ou invertida, real ou virtual.
c) Calcular a distância focal equivalente f_{\mathrm{eq}} usando \frac{1}{f_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f_{2}}-\frac{d}{f_{1}f_{2}},
verificar consistência e discutir como ajustar f_{1} ou f_{2} para obter configuração telescópica (imagem no infinito).

Passo 2

Revisão rápida da fórmula que vamos usar (claro e passo a passo):
  • Equação do foco de lente delgada: \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f},
onde:
  • p é a distância do objeto à lente (positiva se o objeto estiver do lado de entrada da luz),
  • q é a distância da imagem à lente (positiva se a imagem estiver do lado de saída da luz),
  • f é a distância focal (positiva para lente convergente, negativa para divergente).
  • Aumento transversal de uma lente: M=-\frac{q}{p}.
    • O sinal do M indica orientação: M>0 imagem direita (mesma orientação que o objeto), M<0 imagem invertida.
    • O módulo |M| é o fator de escala do tamanho.
Agora aplicamos isso à lente L_{1}.

Passo 3

Imagem formada por L_{1}:
Usando a equação das lentes com p_{1}=30~\text{cm} e f_{1}=15~\text{cm}:
\frac{1}{p_{1}}+\frac{1}{q_{1}}=\frac{1}{f_{1}} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{q_{1}}=\frac{1}{f_{1}}-\frac{1}{p_{1}}=\frac{1}{15}-\frac{1}{30}.
Calcule:
\frac{1}{q_{1}}=\frac{2-1}{30}=\frac{1}{30} \quad\Rightarrow\quad q_{1}=30~\text{cm}.
Interpretação: a imagem formada por L_{1} está a 30~\text{cm} à direita de L_{1}. Como q_{1}>0, é uma imagem real e invertida em relação ao objeto inicial.
Posição relativa a L_{2}: L_{2} está a d=8~\text{cm} à direita de L_{1}. Logo a imagem intermediária está a
\text{distância entre }L_{2}\text{ e a imagem} = q_{1}-d = 30-8=22~\text{cm}â
à direita de L_{2}.

Passo 4

Determinar o objeto para L_{2} (sinais e interpretação):
Para L_{2} a luz incide pela esquerda. O "objeto para L_{2}" é a imagem intermediária, que está do lado direito de L_{2}. Pela convenção usada, quando o objeto está do lado oposto à entrada de luz (a direita, no caso), o p_{2} fica negativo e seu valor absoluto é a distância entre L_{2} e esse objeto. Assim:
p_{2}=-22~\text{cm}.
(Explicando: o objeto está 22 cm à direita de L_{2}, ou seja, do lado em que saem os raios; isso é um objeto virtual para L_{2}, por isso p_{2}<0.)
Agora aplicamos a equação da lente para L_{2} com f_{2}=-25~\text{cm}:
\frac{1}{p_{2}}+\frac{1}{q_{2}}=\frac{1}{f_{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{q_{2}}=\frac{1}{f_{2}}-\frac{1}{p_{2}}.
Substituindo:
\frac{1}{q_{2}}=\frac{1}{-25}-\frac{1}{-22}=-\frac{1}{25}+\frac{1}{22}=\frac{-22+25}{550}=\frac{3}{550}.
Portanto
q_{2}=\frac{550}{3}~\text{cm}\approx183{,}33~\text{cm}.
Interpretação de sinal: q_{2}>0 indica que a imagem final está à direita de L_{2} (lado de saída da luz) — logo é uma imagem real (raios saem e convergem para formar a imagem). Em distância relativa a L_{1} a posição é
\text{posição relativa a }L_{1}=d+q_{2}=8+\frac{550}{3}=\frac{24+550}{3}=\frac{574}{3}~\text{cm}\approx191{,}33~\text{cm}çã
à direita de L_{1}.

Passo 5

Cálculo dos aumentos M_{1}, M_{2} e do aumento total M:
  • Para L_{1}:
M_{1}=-\frac{q_{1}}{p_{1}}=-\frac{30}{30}=-1.
Interpretação: M_{1}=-1 significa imagem invertida e de mesmo tamanho gerada por L_{1}.
  • Para L_{2}:
M_{2}=-\frac{q_{2}}{p_{2}}=-\frac{\tfrac{550}{3}}{-22}=\frac{550}{3\cdot22}=\frac{550}{66}=\frac{25}{3}\approx8{,}333\ldots
Observação: M_{2}>0 indica que a imagem formada por L_{2} é direita em relação ao objeto que incide sobre L_{2} (esse “objeto” era virtual e invertido por L_{1} — cuidado com referências).
  • Aumento total:
M=M_{1}\times M_{2}=-1\times\frac{25}{3}=-\frac{25}{3}\approx-8{,}333\ldots
Interpretação final:
  • Sinal negativo de M indica que a imagem final é invertida em relação ao objeto original.
  • Módulo |M|=\dfrac{25}{3} é o fator de ampliação (a imagem final é aproximadamente 8{,}333 vezes maior).
  • Como q_{2}>0, a imagem final é real (formada no lado de saída da luz).

Passo 6

Cálculo da distância focal equivalente f_{\mathrm{eq}} e verificação:
Usando a fórmula dada:
\frac{1}{f_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f_{2}}-\frac{d}{f_{1}f_{2}}.
Substituindo números:
\frac{1}{f_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{15}+\frac{1}{-25}-\frac{8}{15\cdot(-25)} =\frac{1}{15}-\frac{1}{25}+\frac{8}{375}.
Colocando em denominador comum 375:
\frac{1}{f_{\mathrm{eq}}}=\frac{25}{375}-\frac{15}{375}+\frac{8}{375}=\frac{18}{375}=\frac{6}{125}.
Logo
f_{\mathrm{eq}}=\frac{125}{6}~\text{cm}\approx20{,}833\ldots~\text{cm}.
Verificação/consistência (explicação): a fórmula foi aplicada corretamente e o resultado pode ser escrito também como
f_{\mathrm{eq}}=\frac{f_{1}f_{2}}{f_{1}+f_{2}-d},
o que dá o mesmo resultado numérico. Observação importante sobre “verificação prática”: o valor de f_{\mathrm{eq}} caracteriza a potência combinada do par de lentes, mas a posição da imagem final obtida pela aplicação sequencial das lentes que fizemos depende também do deslocamento das superfícies (planos principais). Ou seja, para usar diretamente a fórmula da lente simples \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f_{\mathrm{eq}}} seria necessário medir p e q a partir dos planos principais equivalentes (não necessariamente a partir da posição de L_{1}). Por isso o valor de f_{\mathrm{eq}} está consistente com a potência combinada do sistema, mesmo que a posição numérica da imagem medida a partir de L_{1} não seja obtida pela aplicação direta da equação da lente simples sem ajustar a origem para os planos principais.

Passo 7

Como ajustar f_{1} ou f_{2} para configuração telescópica (imagem no infinito) — método e condição prática:
Condição matemática para que a imagem final fique no infinito: na equação da lente para L_{2},
\frac{1}{p_{2}}+\frac{1}{q_{2}}=\frac{1}{f_{2}},
se queremos q_{2}\to\infty então \dfrac{1}{p_{2}}=\dfrac{1}{f_{2}}, isto é
p_{2}=f_{2}.
Isto significa: o objeto “visto” por L_{2} (a imagem intermediária de L_{1}) deve estar no plano focal de L_{2}. Em termos geométricos (usando as posições que já calculamos), a condição é
q_{1}-d = f_{2},
onde q_{1} é a imagem produzida por L_{1} medida a partir de L_{1}. Essa equação pode ser usada de duas maneiras práticas:
  • Ajustar f_{2} mantendo f_{1} e d fixos: escolher f_{2}=q_{1}-d. No nosso caso q_{1}=30~\text{cm} e d=8~\text{cm}, logo seria preciso f_{2}=30-8=22~\text{cm} (positivo) — isto é, trocar L_{2} por uma lente convergente com f_{2}=+22~\text{cm} para obter imagem final no infinito.
  • Ajustar f_{1} (ou a posição de L_{1}) para que q_{1}=d+f_{2}. Resolvendo para f_{1} com p_{1} fixo obtém-se a f_{1} necessária; no nosso exemplo, ao tentar essa rota obtém-se f_{1} negativo (o que significa trocar por lente divergente), portanto é menos prático aqui. Em geral, para telescópio típico com duas lentes convergentes o ajuste usual é escolher d=f_{1}+f_{2} (se os sinais forem positivos e o objeto estiver em infinito); na configuração geral a condição acima q_{1}-d=f_{2} é a forma correta para que L_{2} transforme o feixe em raios paralelos (imagem no infinito).
Pequena interpretação física e dica de prova:
  • Para produzir imagem no infinito após L_{2}, os raios que chegam a L_{2} devem sair paralelos; isso acontece quando o objeto para L_{2} está em seu plano focal.
  • Então, ou se escolhe d para coincidir com as posições focais ou se troca uma das lentes por outra com foco adequado (mais prático: trocar f_{2} para +22~\text{cm} no nosso exemplo).

Resposta

a) Imagem intermediária de L_{1}: q_{1}=30~\text{cm} à direita de L_{1}.
Imagem final (relativa a L_{2}): q_{2}=\dfrac{550}{3}~\text{cm}\approx183{,}33~\text{cm} à direita de L_{2} (ou \dfrac{574}{3}~\text{cm}\approx191{,}33~\text{cm} à direita de L_{1}).\n
b) M_{1}=-1, M_{2}=\dfrac{25}{3}, aumento total M=-\dfrac{25}{3}\approx-8{,}333. A imagem final é invertida (sinal negativo de M), real (porque q_{2}>0) e ampliada por um fator \dfrac{25}{3}.\n
c) f_{\mathrm{eq}}=\dfrac{125}{6}~\text{cm}\approx20{,}833~\text{cm}. Consistência: a fórmula fornecida e a forma \;f_{\mathrm{eq}}=\dfrac{f_{1}f_{2}}{f_{1}+f_{2}-d}\; dão o mesmo valor; notar que para usar f_{\mathrm{eq}} diretamente nas fórmulas de imagem é preciso referir-se aos planos principais do sistema (não necessariamente à posição de L_{1}). Para obter configuração telescópica (imagem no infinito) requer que o objeto visto por L_{2} esteja em seu plano focal, i.e. p_{2}=f_{2}. Com q_{1}=30~\text{cm} e d=8~\text{cm} isso exige f_{2}=q_{1}-d=22~\text{cm} (ou alternativamente ajustar f_{1} para que q_{1}=d+f_{2}).

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