Uma lente de contato é feita de plástico com índice de refração de 1,50 . Ela tem diâmetro de curvatura externo de +2,00 \mathrm{~cm} e raio de curvatura interno de +2,50 \mathrm{~cm}. Qual é a distância focal da lente? [1] P40, Pág 67.

Passo 1

O enunciado dá uma lente de contato feita de plástico com índice de refração n=1,50. As curvaturas das duas superfícies da lente (assumindo que são esféricas) têm raios dados por 2{,}00\\ \mathrm{cm} e 2{,}50\\ \mathrm{cm}. A pergunta é: qual é a distância focal da lente?
Informações relevantes fornecidas:
  • índice do material: n=1,50
  • raios de curvatura (valores numéricos): 2{,}00\\ \mathrm{cm} e 2{,}50\\ \mathrm{cm}
  • pede-se a distância focal f da lente (assumimos lente em ar, n_{\text{ar}}=1, e lente delgada, sem espessura significativa).

Passo 2

Fórmula que usamos (fórmula do fabricante de lentes — “lensmaker” para lente delgada):
\frac{1}{f} = \left(n-1\right)\!\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right).
Explicando cada termo dessa fórmula:
  • \frac{1}{f} é o inverso da distância focal que queremos encontrar; f tem unidades de comprimento (cm ou m).
  • n é o índice de refração do material da lente (aqui n=1{,}50).
  • R_1 é o raio de curvatura da primeira superfície que o feixe de luz encontra (positivo se o centro de curvatura está do lado de saída da superfície, seguindo a convenção usual para superfícies esféricas).
  • R_2 é o raio de curvatura da segunda superfície (mesma convenção de sinais).
  • A fórmula presume que a lente está rodeada por ar (índice 1) e que a espessura da lente é pequena comparada aos raios (lente delgada).

Passo 3

Precisamos atribuir corretamente os sinais de R_1 e R_2. Assumimos luz incidente da esquerda para a direita (luz vindo do ar para a lente, como numa lente de contato exposta à luz). Então:
  • a primeira superfície é a face externa (anterior) da lente; se for convexa voltada para a direita, o centro de curvatura fica à direita → R_1 é positivo. Tomamos R_1 = +2{,}00\\ \mathrm{cm}.
  • a segunda superfície é a face interna (posterior); para uma lente biconvexa típica o centro de curvatura da segunda superfície fica à esquerda (oposto ao sentido da propagação após a primeira superfície) → isso faz R_2 ser negativo. Tomamos R_2 = -2{,}50\\ \mathrm{cm}.
    (Se a geometria fosse diferente, teríamos que ajustar os sinais, mas a escolha acima é a usual para uma lente biconvexa com os raios dados.)

Passo 4

Agora substituímos os valores na parte interna da fórmula e calculamos passo a passo:
Calculemos primeiro as recíprocas:
\frac{1}{R_1}=\frac{1}{2{,}00\\ \mathrm{cm}}=0{,}5\\ \mathrm{cm}^{-1}
\frac{1}{R_2}=\frac{1}{-2{,}50\\ \mathrm{cm}}=-0{,}4\\ \mathrm{cm}^{-1}
Agora a diferença:
\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}=0{,}5-(-0{,}4)=0{,}5+0{,}4=0{,}9\\ \mathrm{cm}^{-1}.

Passo 5

Multiplicamos pelo fator (n-1):
n-1=1{,}50-1=0{,}50.
Então
\frac{1}{f}=(n-1)\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)=0{,}50\times0{,}9=0{,}45\\ \mathrm{cm}^{-1}.
Invertemos para obter f:
f=\frac{1}{0{,}45}\\ \mathrm{cm}=2{,}222\ldots\\ \mathrm{cm}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais):
f\approx2{,}22\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Convertendo para metros (caso você prefira SI):
f\approx2{,}22\\ \mathrm{cm}=0{,}0222\\ \mathrm{m}.
Interpretação do sinal: f é positivo, então a lente é convergente (focaliza raios paralelos em um ponto real). Verificação rápida de ordem de grandeza: raios de curvatura da ordem de centímetros e índice 1{,}5 costumam dar focais de poucos centímetros — o resultado é razoável para uma lente de contato.

Passo 7

Dica prática para a prova: memorize a fórmula \displaystyle\frac{1}{f}=(n-1)\!\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right) e pratique a convenção de sinais com alguns desenhos (desenhe a lente, marque centros de curvatura e aplique ‘positivo se o centro está ao lado de saída da superfície’). Isso evita confusão rápida na hora. Você já chegou longe — segue firme!

Resposta

f\approx2{,}22\\ \mathrm{cm} =0{,}0222\\ \mathrm{m}

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