O topo de uma piscina fica no nível do solo. Se a piscina tem
de profundidade, a que distância seu fundo parece estar localizado quando (a) a piscina está completamente cheia de água? (b) Quando a piscina está com água pela metade? [1] P29, Pág 67.
Passo 1
O enunciado diz que o topo da piscina coincide com o nível do solo e que a piscina tem profundidade
. Pede-se:
(a) quando a piscina está completamente cheia de água, a que distância o seu fundo parece estar localizado (isto é, qual a profundidade aparente vista de cima)?
(b) quando a piscina está com água pela metade, a que distância o seu fundo parece estar localizado?
(a) quando a piscina está completamente cheia de água, a que distância o seu fundo parece estar localizado (isto é, qual a profundidade aparente vista de cima)?
(b) quando a piscina está com água pela metade, a que distância o seu fundo parece estar localizado?
Informações relevantes (vou assumir o valor padrão da refração da água, que é normalmente usado nesses problemas):
(índice de refração do ar)
(índice de refração da água)
Observação: quando a piscina está pela metade, entendo que a altura da coluna de água é
(metade de
), e entre o nível do solo (topo da borda) e a superfície da água haverá uma camada de ar de
.
Passo 2
Princípio físico e fórmula que vamos usar — explicação didática.
Quando olhamos de cima para dentro da água, os raios de luz vindos do fundo se desviam ao passar da água para o ar (refração). A lei que descreve isso é a lei de Snell:
Quando olhamos de cima para dentro da água, os raios de luz vindos do fundo se desviam ao passar da água para o ar (refração). A lei que descreve isso é a lei de Snell:
onde
e
são os índices de refração dos meios (aqui ar e água) e
,
são os ângulos que o raio faz com a normal, no ar e na água respectivamente.
Para um observador aproximadamente em posição normal (ou seja, olhando quase perpendicularmente à superfície) podemos usar a aproximação de pequenos ângulos:
. Isso simplifica a análise geométrica: se o ponto real do fundo está a uma profundidade
abaixo da superfície da água, e o ponto aparente (onde o fundo parece estar) fica a uma profundidade
(quando extrapolamos o raio refratado para cima), então a geometria dá:
onde
é o deslocamento horizontal do raio. Com
e usando Snell (
) vem:
Essa é a fórmula padrão de profundidade aparente para superfície plana vista de cima: a profundidade aparente é a profundidade real multiplicada por
. Aqui
é a profundidade real medido a partir da superfície da água.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso (a) — piscina completamente cheia.
A profundidade real da água é . Usando
A profundidade real da água é
com
e
, temos
Calculemos:
. Multiplicando por
dá aproximadamente
. Arredondando para duas casas decimais (mesma precisão dos dados) obtemos
Passo 4
Aplicando ao caso (b) — piscina com água pela metade.
Agora a coluna de água tem profundidade real . Além disso, entre o topo (nível do solo) e a superfície da água existe uma camada de ar de espessura
. O ponto aparente do fundo, visto de cima do solo, será a soma da espessura do ar mais a profundidade aparente medida a partir da superfície da água. Ou seja:
Agora a coluna de água tem profundidade real
onde
Substituindo números:
Portanto a profundidade aparente total é
Passo 5
Interpretação rápida e ânimo: o resultado mostra algo que pode parecer contraintuitivo à primeira vista — quando a piscina está só metade cheia o fundo pode parecer mais profundo (a
) do que quando está cheia (
). Isso acontece porque, no caso metade cheia, parte do caminho até os olhos é no ar (onde os raios não foram comprimidos pela água), por isso a imagem acaba ficando mais profunda relativa ao topo. Vai dar certo na prova — calma, respira e lembra dessa fórmula simples!
Resposta
(a)
(b)
(b)