O topo de uma piscina fica no nível do solo. Se a piscina tem 2,00 \mathrm{~m} de profundidade, a que distância seu fundo parece estar localizado quando (a) a piscina está completamente cheia de água? (b) Quando a piscina está com água pela metade? [1] P29, Pág 67.

Passo 1

O enunciado diz que o topo da piscina coincide com o nível do solo e que a piscina tem profundidade \,2,00\\ \text{m}. Pede-se:
(a) quando a piscina está completamente cheia de água, a que distância o seu fundo parece estar localizado (isto é, qual a profundidade aparente vista de cima)?
(b) quando a piscina está com água pela metade, a que distância o seu fundo parece estar localizado?
Informações relevantes (vou assumir o valor padrão da refração da água, que é normalmente usado nesses problemas):
\;n_{\text{ar}}=1,00 (índice de refração do ar)
\;n_{\text{água}}=1,33á (índice de refração da água)
Observação: quando a piscina está pela metade, entendo que a altura da coluna de água é \,1,00\\ \text{m} (metade de \,2,00\\ \text{m}), e entre o nível do solo (topo da borda) e a superfície da água haverá uma camada de ar de \,1,00\\ \text{m}.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar — explicação didática.
Quando olhamos de cima para dentro da água, os raios de luz vindos do fundo se desviam ao passar da água para o ar (refração). A lei que descreve isso é a lei de Snell:
n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2,
onde \,n_1 e \,n_2 são os índices de refração dos meios (aqui ar e água) e \theta_1, \theta_2 são os ângulos que o raio faz com a normal, no ar e na água respectivamente.
Para um observador aproximadamente em posição normal (ou seja, olhando quase perpendicularmente à superfície) podemos usar a aproximação de pequenos ângulos: \sin\theta\approx\tan\theta\approx\theta. Isso simplifica a análise geométrica: se o ponto real do fundo está a uma profundidade \,d abaixo da superfície da água, e o ponto aparente (onde o fundo parece estar) fica a uma profundidade \,d' (quando extrapolamos o raio refratado para cima), então a geometria dá:
\tan\theta_2=\frac{x}{d},\qquad \tan\theta_1=\frac{x}{d'},
onde x é o deslocamento horizontal do raio. Com \tan\theta\approx\theta e usando Snell ( n_{\text{ar}}\theta_1=n_{\text{água}}\theta_2á) vem:
n_{\text{ar}}\frac{x}{d'}=n_{\text{água}}\frac{x}{d}\quad\Rightarrow\quad d' = d\frac{n_{\text{ar}}}{n_{\text{água}}}.áá
Essa é a fórmula padrão de profundidade aparente para superfície plana vista de cima: a profundidade aparente é a profundidade real multiplicada por \dfrac{n_{\text{ar}}}{n_{\text{água}}}á. Aqui \,d é a profundidade real medido a partir da superfície da água.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso (a) — piscina completamente cheia.
A profundidade real da água é \,d=2,00\\ \text{m}. Usando
d' = d\frac{n_{\text{ar}}}{n_{\text{água}}},á
com \,n_{\text{ar}}=1,00 e \,n_{\text{água}}=1,33á, temos
d' = 2,00\cdot\frac{1,00}{1,33}.
Calculemos: \dfrac{1,00}{1,33}\approx0,75188\ldots. Multiplicando por \,2,00 dá aproximadamente \,1,5038\\ \text{m}. Arredondando para duas casas decimais (mesma precisão dos dados) obtemos
d' \approx 1,50\\ \text{m}.

Passo 4

Aplicando ao caso (b) — piscina com água pela metade.
Agora a coluna de água tem profundidade real \,d_{\text{água}}=1,00\\ \text{m}á. Além disso, entre o topo (nível do solo) e a superfície da água existe uma camada de ar de espessura \,h_{\text{ar}}=1,00\\ \text{m}. O ponto aparente do fundo, visto de cima do solo, será a soma da espessura do ar mais a profundidade aparente medida a partir da superfície da água. Ou seja:
\text{profundidade aparente total} = h_{\text{ar}} + d'_{\text{abaixo da superfície}},í
onde
d'_{\text{abaixo da superfície}} = d_{\text{água}}\frac{n_{\text{ar}}}{n_{\text{água}}}.íáá
Substituindo números:
d'_{\text{abaixo da superfície}} = 1,00\cdot\frac{1,00}{1,33}\approx 0,75\\ \text{m}.í
Portanto a profundidade aparente total é
1,00\\ \text{m} + 0,75\\ \text{m} = 1,75\\ \text{m}.

Passo 5

Interpretação rápida e ânimo: o resultado mostra algo que pode parecer contraintuitivo à primeira vista — quando a piscina está só metade cheia o fundo pode parecer mais profundo (a 1,75\\ \text{m}) do que quando está cheia ( 1,50\\ \text{m}). Isso acontece porque, no caso metade cheia, parte do caminho até os olhos é no ar (onde os raios não foram comprimidos pela água), por isso a imagem acaba ficando mais profunda relativa ao topo. Vai dar certo na prova — calma, respira e lembra dessa fórmula simples!

Resposta

(a) 1,50\\ \text{m}
(b) 1,75\\ \text{m}

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