Mostre que para uma lente divergente, Quando um objeto está em qualquer lugar na frente de uma lente divergente, a imagem é virtual, em pé, menor que o objeto e no lado frontal da lente.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que, para uma lente divergente, quando um objeto está em qualquer lugar na frente da lente, a imagem que se forma é
- virtual,
- em pé (isto é, com mesma orientação do objeto),
- menor que o objeto,
- e localizada no mesmo lado da lente onde está o objeto (lado frontal).
Informações dadas e condições que vamos usar:
- A lente é divergente (isso implica que sua distância focal é negativa).
- O objeto está em frente à lente (lado de onde os raios incidentes vêm), ou seja, a distância do objeto à lente é positiva.
- Não há outros elementos ópticos no enunciado (somos autorizados a usar o modelo de lente delgada e as fórmulas padrão de lentes).
Passo 2
Conceitos e fórmulas básicas que vamos usar (explicando tudo passo a passo).
Definições das quantidades que aparecem nas fórmulas:
-
= distância do objeto ao centro óptico da lente. Tomamos quando o objeto está no lado de entrada da luz (caso usual). -
= distância da imagem ao centro óptico da lente. Por convenção de sinais: se a imagem estiver do outro lado da lente (imagem real), se estiver do mesmo lado do objeto (imagem virtual). -
= distância focal da lente. Para lente convergente ; para lente divergente .
Fórmula fundamental da lente delgada (que relaciona essas quantidades):
Explicação do sentido físico dessa fórmula: ela vem da aproximação para lentes delgadas relacionando curvaturas dos raios e posições de objeto/imagem; não precisamos derivá-la aqui, apenas entender e usar corretamente com as convenções de sinal acima.
Passo 3
Isolando
na fórmula da lente (passo algebricamente detalhado).
Partimos de
Subtraindo
dos dois lados:
Colocando em um único quociente:
Invertendo ambos os lados para obter
:
Esse é o resultado algébrico que vamos usar para analisar o sinal e o módulo de
.
Passo 4
Analisando o sinal de
para uma lente divergente (mostrar que a imagem é virtual e está no lado frontal).
Para lente divergente temos
. Para um objeto em frente à lente, tomamos
.
Observe a expressão
- O numerador
é negativo porque e . - O denominador
é positivo porque e , então .
Portanto
é negativo (numerador negativo dividido por denominador positivo), ou seja,
Significado físico de
: a imagem está do mesmo lado da lente que o objeto e não está formada pelo encontro real dos raios refratados — é uma imagem virtual (só aparece quando estendemos para trás os raios refratados e vemos onde suas extensões se cruzam). Assim mostramos que a imagem é virtual e está no lado frontal da lente.
Passo 5
Fórmula da ampliação (magnificação) e interpretação — mostrar que a imagem é em pé e menor.
A ampliação linear
(razão entre altura da imagem e altura do objeto, com sinal) é dada por
Explicação do sinal:
indica imagem com mesma orientação (em pé),
indica imagem invertida. O valor absoluto
dá a razão de tamanhos:
significa imagem menor que o objeto,
significa imagem maior.
Usando a expressão de
do Passo 3:
Passo 6
Determinar sinal e módulo de
para lente divergente (concluir que a imagem é em pé e menor).
Lembrando que para lente divergente
e
, reescrevemos
:
Como
, escrevemos
. Substituindo:
Agora vemos claramente que:
-
(porque numerador e denominador são positivos) ⇒ a imagem tem a mesma orientação do objeto (em pé). - Além disso
pois implica , então . Portanto , ou seja, a imagem é menor que o objeto.
Concluímos: para qualquer
com
, a imagem é virtual (
), em pé (
), e menor (
).
Passo 7
Intuição com raios (uma explicação geométrica rápida e prática que ajuda numa prova oral ou desenhando o diagrama).
Raios principais usados no traçado para uma lente delgada:
- Um raio paralelo ao eixo principal, ao atravessar uma lente divergente, sai divergindo como se viesse do foco do mesmo lado do objeto. Ou seja, o raio refratado parece originar-se do foco dianteiro.
- Um raio que vem dirigido ao foco do outro lado sai paralelo ao eixo após atravessar a lente.
- Um raio que passa pelo centro óptico da lente segue praticamente em linha reta sem desvio apreciável.
No caso da lente divergente:
- Os raios refratados divergem ao sair da lente; suas extensões (traçando as linhas para trás, do lado do objeto) se cruzam em um ponto. Esse ponto de interseção das extensões é a localização da imagem virtual (portanto no lado frontal).
- O ponto de interseção das extensões fica sempre entre o foco dianteiro e a lente (ou mais perto da lente), o que corresponde a uma imagem menor e na mesma orientação (em pé). Isso concorda com as contas algébricas anteriores.
Passo 8
Exemplo numérico rápido para fixar (faça isso na prova se quiser checar um caso concreto).
Escolha
cm (lente divergente) e
cm.
Calcule usando
Calcule
Logo
(imagem virtual e no lado frontal). A ampliação é
ou seja
(imagem em pé) e
(imagem menor). Este exemplo numérico confirma a conclusão geral.
Resposta
Imagem virtual:
Imagem em pé:
Imagem menor que o objeto:
Imagem no lado frontal da lente:
Imagem em pé:
Imagem menor que o objeto:
Imagem no lado frontal da lente: