Mostre que para uma lente divergente, Quando um objeto está em qualquer lugar na frente de uma lente divergente, a imagem é virtual, em pé, menor que o objeto e no lado frontal da lente.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que, para uma lente divergente, quando um objeto está em qualquer lugar na frente da lente, a imagem que se forma é
  • virtual,
  • em pé (isto é, com mesma orientação do objeto),
  • menor que o objeto,
  • e localizada no mesmo lado da lente onde está o objeto (lado frontal).
Informações dadas e condições que vamos usar:
  • A lente é divergente (isso implica que sua distância focal é negativa).
  • O objeto está em frente à lente (lado de onde os raios incidentes vêm), ou seja, a distância do objeto à lente é positiva.
  • Não há outros elementos ópticos no enunciado (somos autorizados a usar o modelo de lente delgada e as fórmulas padrão de lentes).

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas que vamos usar (explicando tudo passo a passo).
Definições das quantidades que aparecem nas fórmulas:
  • d_o = distância do objeto ao centro óptico da lente. Tomamos d_o>0 quando o objeto está no lado de entrada da luz (caso usual).
  • d_i = distância da imagem ao centro óptico da lente. Por convenção de sinais: d_i>0 se a imagem estiver do outro lado da lente (imagem real), d_i<0 se estiver do mesmo lado do objeto (imagem virtual).
  • f = distância focal da lente. Para lente convergente f>0; para lente divergente f<0.
Fórmula fundamental da lente delgada (que relaciona essas quantidades):
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}.
Explicação do sentido físico dessa fórmula: ela vem da aproximação para lentes delgadas relacionando curvaturas dos raios e posições de objeto/imagem; não precisamos derivá-la aqui, apenas entender e usar corretamente com as convenções de sinal acima.

Passo 3

Isolando d_i na fórmula da lente (passo algebricamente detalhado).
Partimos de
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}.
Subtraindo \frac{1}{d_o} dos dois lados:
\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d_o}.
Colocando em um único quociente:
\frac{1}{d_i}=\frac{d_o-f}{f\,d_o}.
Invertendo ambos os lados para obter d_i:
d_i=\frac{f\,d_o}{d_o-f}.
Esse é o resultado algébrico que vamos usar para analisar o sinal e o módulo de d_i.

Passo 4

Analisando o sinal de d_i para uma lente divergente (mostrar que a imagem é virtual e está no lado frontal).
Para lente divergente temos f<0. Para um objeto em frente à lente, tomamos d_o>0.
Observe a expressão
d_i=\frac{f\,d_o}{d_o-f}.
  • O numerador f\,d_o é negativo porque f<0 e d_o>0.
  • O denominador d_o-f é positivo porque d_o>0 e -f>0, então d_o-f=d_o+|f|>0.
Portanto d_i é negativo (numerador negativo dividido por denominador positivo), ou seja,
d_i<0.
Significado físico de d_i<0: a imagem está do mesmo lado da lente que o objeto e não está formada pelo encontro real dos raios refratados — é uma imagem virtual (só aparece quando estendemos para trás os raios refratados e vemos onde suas extensões se cruzam). Assim mostramos que a imagem é virtual e está no lado frontal da lente.

Passo 5

Fórmula da ampliação (magnificação) e interpretação — mostrar que a imagem é em pé e menor.
A ampliação linear m (razão entre altura da imagem e altura do objeto, com sinal) é dada por
m=-\frac{d_i}{d_o}.
Explicação do sinal: m>0 indica imagem com mesma orientação (em pé), m<0 indica imagem invertida. O valor absoluto |m| dá a razão de tamanhos: |m|<1 significa imagem menor que o objeto, |m|>1 significa imagem maior.
Usando a expressão de d_i do Passo 3:
m=-\frac{d_i}{d_o}=-\frac{1}{d_o}\cdot\frac{f\,d_o}{d_o-f}=-\frac{f}{d_o-f}.

Passo 6

Determinar sinal e módulo de m para lente divergente (concluir que a imagem é em pé e menor).
Lembrando que para lente divergente f<0 e d_o>0, reescrevemos m:
m=-\frac{f}{d_o-f}.
Como f<0, escrevemos f=-|f|. Substituindo:
m=-\frac{-|f|}{d_o-(-|f|)}=\frac{|f|}{d_o+|f|}.
Agora vemos claramente que:
  • m>0 (porque numerador e denominador são positivos) ⇒ a imagem tem a mesma orientação do objeto (em pé).
  • Além disso 0<m<1 pois d_o>0 implica d_o+|f|>|f|, então \frac{|f|}{d_o+|f|}<1. Portanto |m|<1, ou seja, a imagem é menor que o objeto.
Concluímos: para qualquer d_o>0 com f<0, a imagem é virtual ( d_i<0), em pé ( m>0), e menor ( |m|<1).

Passo 7

Intuição com raios (uma explicação geométrica rápida e prática que ajuda numa prova oral ou desenhando o diagrama).
Raios principais usados no traçado para uma lente delgada:
  1. Um raio paralelo ao eixo principal, ao atravessar uma lente divergente, sai divergindo como se viesse do foco do mesmo lado do objeto. Ou seja, o raio refratado parece originar-se do foco dianteiro.
  2. Um raio que vem dirigido ao foco do outro lado sai paralelo ao eixo após atravessar a lente.
  3. Um raio que passa pelo centro óptico da lente segue praticamente em linha reta sem desvio apreciável.
No caso da lente divergente:
  • Os raios refratados divergem ao sair da lente; suas extensões (traçando as linhas para trás, do lado do objeto) se cruzam em um ponto. Esse ponto de interseção das extensões é a localização da imagem virtual (portanto no lado frontal).
  • O ponto de interseção das extensões fica sempre entre o foco dianteiro e a lente (ou mais perto da lente), o que corresponde a uma imagem menor e na mesma orientação (em pé). Isso concorda com as contas algébricas anteriores.

Passo 8

Exemplo numérico rápido para fixar (faça isso na prova se quiser checar um caso concreto).
Escolha f=-10 cm (lente divergente) e d_o=20 cm.
Calcule d_i usando
d_i=\frac{f\,d_o}{d_o-f}=\frac{(-10)\cdot 20}{20-(-10)}=\frac{-200}{30}=-\tfrac{200}{30}\text{ cm}=-6,\overline{6}\text{ cm}.
Logo d_i<0 (imagem virtual e no lado frontal). A ampliação é
m=-\frac{d_i}{d_o}=-\frac{-6,\overline{6}}{20}=0,33\overline{3},
ou seja m>0 (imagem em pé) e m<1 (imagem menor). Este exemplo numérico confirma a conclusão geral.

Resposta

Imagem virtual: d_i<0
Imagem em pé: m>0
Imagem menor que o objeto: |m|<1
Imagem no lado frontal da lente: d_i<0

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