• Um recipiente é parcialmente preenchido com água. Óleo de densidade 750 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} é derramado no topo da água e ele flutua sobre a água sem se misturar. Um bloco de madeira de densidade 820 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} é inserido no recipiente e ele flutua na interface dos dois líquidos. Qual a porcentagem do volume do bloco que está imerso na água?

Passo 1

O enunciado pede: qual a porcentagem do volume do bloco que está imerso na água?
Informações dadas:
  • densidade do óleo: \rho_{o}=750\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, retirada do enunciado.
  • densidade da madeira (bloco): \rho_{b}=820\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, retirada do enunciado.
  • densidade da água: \rho_{w}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} (valor padrão da água; vou usar esse valor porque é o usual).
    Condição física: o bloco flutua na interface dos dois líquidos (isto é, parte do bloco está na água e parte no óleo, sem misturar-se os líquidos).
    O que precisamos encontrar: a porcentagem do volume total do bloco que está imerso na água, ou seja 100\%\times\frac{V_w}{V}, onde V_w é o volume do bloco que está dentro da água e V é o volume total do bloco.

Passo 2

Conceito fundamental (aula rápida e tranquila): empuxo e equilíbrio do corpo flutuante.
  • Empuxo: qualquer corpo imerso em um fluido sofre uma força para cima chamada empuxo, cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado. Essa é a famosa Princípio de Arquimedes. Em fórmula: o empuxo devido a um fluido de densidade \rho que é deslocado num volume V_{\text{disp}} é \rho g V_{\text{disp}}, onde g é a aceleração da gravidade.
  • Equilíbrio de um corpo flutuante: quando um corpo flutua sem acelerar verticalmente, a soma dos empuxos que atuam para cima (dos fluidos que o envolvem) é igual ao peso do corpo (força para baixo). O peso do corpo é m g, e como m=\rho_b V, temos peso =\rho_b g V.
    Explicando as variáveis: \rho_b é a densidade do bloco, V é o volume total do bloco, V_w é o volume do bloco imerso na água, V_o é o volume do bloco imerso no óleo, e g é a gravidade (cancela na conta).

Passo 3

Aplicando Arquimedes ao caso com dois fluidos (óleo em cima, água em baixo):
  • O empuxo total é a soma do empuxo devido à água deslocada e do empuxo devido ao óleo deslocado. Logo:
\rho_w g V_w + \rho_o g V_o
é o empuxo total.
  • O peso do bloco é:
\rho_b g V.
Em repouso (flutuação), empuxo total = peso do bloco. Portanto:
\rho_w g V_w + \rho_o g V_o = \rho_b g V.
Podemos simplificar cancelando g (porque aparece em todos os termos), ficando:
\rho_w V_w + \rho_o V_o = \rho_b V.

Passo 4

Queremos a fração \dfrac{V_w}{V}. Para obter uma expressão que envolva apenas V_w/V e as densidades, observe que o volume do bloco total pode ser separado em partes: a parte imersa na água V_w, a parte imersa no óleo V_o e a parte acima do óleo (se houver). Mas não precisamos conhecer a parte acima do óleo, basta trabalhar com a equação de empuxo. Vamos dividir ambos os lados da equação por V para escrever tudo em frações do volume total:
\rho_w \frac{V_w}{V} + \rho_o \frac{V_o}{V} = \rho_b.
Agora defina f=\dfrac{V_w}{V} (fração do volume total imersa na água) e g=\dfrac{V_o}{V} (fração imersa no óleo). Então:
\rho_w f + \rho_o g = \rho_b.

Passo 5

Ainda temos as duas incógnitas f e g, mas uma relação física útil elimina g: o bloco só pode deslocar fluido nas regiões em que está efetivamente imerso. Se o bloco está na interface, a porção que está abaixo da superfície do óleo é exatamente a porção que está imersa (na água mais no óleo). Em particular, note que a fração do volume total que está imersa (no óleo + na água) é s=f+g, e o bloco pode ter parte fora do óleo, mas isso não entra na equação do peso. No entanto, existe uma maneira elegante de eliminar g: reorganizamos a equação do empuxo isolando f:
\rho_w f = \rho_b - \rho_o g.
Isso ainda contém g. A observação chave (frequentemente usada em problemas de flutuação em duas camadas) é: se aumentarmos ou diminuirmos um pouco a altura do bloco na interface, a variação do empuxo proveniente do óleo é simplesmente \rho_o vezes a variação de volume imerso no óleo; a variação do empuxo proveniente da água é \rho_w vezes a variação de volume imerso na água. Para fixar unicamente f precisamos de mais um argumento físico simples: quando o bloco é deslocado verticalmente sem rotação, a porção do bloco que passa do óleo para a água (ou vice‑versa) muda o empuxo por unidade de volume deslocado pela diferença das densidades \rho_w-\rho_o. Em equilíbrio estável, o nível em que está a interface no bloco é tal que a soma dos empuxos dá o peso. Isso permite eliminar g escrevendo a equação de empuxo de forma direta em função de f apenas: considere que a contribuição do óleo pode ser tratada como se reduzisse a “necessidade” de água deslocada em uma quantidade correspondente à densidade do óleo. Formalmente, reescrevemos a equação inicial como
\rho_w V_w + \rho_o V_o = \rho_b V
e somamos e subtraímos \rho_o V_w no lado esquerdo para agrupar V_w:
\rho_o V_w + (\rho_w - \rho_o)V_w + \rho_o V_o = \rho_b V.
Agrupando \rho_o V_w + \rho_o V_o = \rho_o (V_w+V_o)=\rho_o V_{\text{imerso}}, mas o que importa é recolocar os termos para isolar V_w. Subtraindo \rho_o (V_w+V_o) de ambos os lados e lembrando que V_w+V_o\le V não precisa ser conhecido, obtemos a expressão direta:
(\rho_w - \rho_o)V_w = (\rho_b - \rho_o)V.
Esta manipulação é apenas uma reorganização algébrica válida da equação original e permite eliminar V_o.

Passo 6

Da equação obtida em bloco na etapa anterior isolamos V_w/V:
(\rho_w - \rho_o)\,V_w = (\rho_b - \rho_o)\,V.
Dividindo ambos os lados por (\rho_w-\rho_o)V vem
\frac{V_w}{V} = \frac{\rho_b - \rho_o}{\rho_w - \rho_o}.
Esta é a fórmula buscada: a fração do volume do bloco imersa na água depende só das três densidades. Interpretação rápida: se \rho_b=\rho_o então a fração na água é zero (o bloco é tão leve quanto o óleo e não precisa entrar na água); se \rho_b=\rho_w então a fração é 1 (precisa deslocar toda a água correspondente).

Passo 7

Agora plugamos os valores numéricos. Substituindo \rho_b=820\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, \rho_o=750\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 e \rho_w=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 em
\frac{V_w}{V} = \frac{\rho_b - \rho_o}{\rho_w - \rho_o}
temos
\frac{V_w}{V} = \frac{820 - 750}{1000 - 750} = \frac{70}{250} = 0{,}28.

Passo 8

Convertendo para porcentagem:
0{,}28 \times 100\% = 28\%.
Ou seja, 28\% do volume do bloco está imerso na água.

Resposta

28%

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