- Um recipiente é parcialmente preenchido com água. Óleo de densidade
é derramado no topo da água e ele flutua sobre a água sem se misturar. Um bloco de madeira de densidade
é inserido no recipiente e ele flutua na interface dos dois líquidos. Qual a porcentagem do volume do bloco que está imerso na água?
Passo 1
O enunciado pede: qual a porcentagem do volume do bloco que está imerso na água?
Informações dadas:
Informações dadas:
- densidade do óleo:
, retirada do enunciado. - densidade da madeira (bloco):
, retirada do enunciado. - densidade da água:
(valor padrão da água; vou usar esse valor porque é o usual).
Condição física: o bloco flutua na interface dos dois líquidos (isto é, parte do bloco está na água e parte no óleo, sem misturar-se os líquidos).
O que precisamos encontrar: a porcentagem do volume total do bloco que está imerso na água, ou seja, onde é o volume do bloco que está dentro da água e é o volume total do bloco.
Passo 2
Conceito fundamental (aula rápida e tranquila): empuxo e equilíbrio do corpo flutuante.
- Empuxo: qualquer corpo imerso em um fluido sofre uma força para cima chamada empuxo, cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado. Essa é a famosa Princípio de Arquimedes. Em fórmula: o empuxo devido a um fluido de densidade
que é deslocado num volume é , onde é a aceleração da gravidade. - Equilíbrio de um corpo flutuante: quando um corpo flutua sem acelerar verticalmente, a soma dos empuxos que atuam para cima (dos fluidos que o envolvem) é igual ao peso do corpo (força para baixo). O peso do corpo é
, e como , temos peso .
Explicando as variáveis:é a densidade do bloco, é o volume total do bloco, é o volume do bloco imerso na água, é o volume do bloco imerso no óleo, e é a gravidade (cancela na conta).
Passo 3
Aplicando Arquimedes ao caso com dois fluidos (óleo em cima, água em baixo):
- O empuxo total é a soma do empuxo devido à água deslocada e do empuxo devido ao óleo deslocado. Logo:
é o empuxo total.
- O peso do bloco é:
Em repouso (flutuação), empuxo total = peso do bloco. Portanto:
Podemos simplificar cancelando
(porque aparece em todos os termos), ficando:
Passo 4
Queremos a fração
. Para obter uma expressão que envolva apenas
e as densidades, observe que o volume do bloco total pode ser separado em partes: a parte imersa na água
, a parte imersa no óleo
e a parte acima do óleo (se houver). Mas não precisamos conhecer a parte acima do óleo, basta trabalhar com a equação de empuxo. Vamos dividir ambos os lados da equação por
para escrever tudo em frações do volume total:
Agora defina
(fração do volume total imersa na água) e
(fração imersa no óleo). Então:
Passo 5
Ainda temos as duas incógnitas
e
, mas uma relação física útil elimina
: o bloco só pode deslocar fluido nas regiões em que está efetivamente imerso. Se o bloco está na interface, a porção que está abaixo da superfície do óleo é exatamente a porção que está imersa (na água mais no óleo). Em particular, note que a fração do volume total que está imersa (no óleo + na água) é
, e o bloco pode ter parte fora do óleo, mas isso não entra na equação do peso. No entanto, existe uma maneira elegante de eliminar
: reorganizamos a equação do empuxo isolando
:
Isso ainda contém
. A observação chave (frequentemente usada em problemas de flutuação em duas camadas) é: se aumentarmos ou diminuirmos um pouco a altura do bloco na interface, a variação do empuxo proveniente do óleo é simplesmente
vezes a variação de volume imerso no óleo; a variação do empuxo proveniente da água é
vezes a variação de volume imerso na água. Para fixar unicamente
precisamos de mais um argumento físico simples: quando o bloco é deslocado verticalmente sem rotação, a porção do bloco que passa do óleo para a água (ou vice‑versa) muda o empuxo por unidade de volume deslocado pela diferença das densidades
. Em equilíbrio estável, o nível em que está a interface no bloco é tal que a soma dos empuxos dá o peso. Isso permite eliminar
escrevendo a equação de empuxo de forma direta em função de
apenas: considere que a contribuição do óleo pode ser tratada como se reduzisse a “necessidade” de água deslocada em uma quantidade correspondente à densidade do óleo. Formalmente, reescrevemos a equação inicial como
e somamos e subtraímos
no lado esquerdo para agrupar
:
Agrupando
, mas o que importa é recolocar os termos para isolar
. Subtraindo
de ambos os lados e lembrando que
não precisa ser conhecido, obtemos a expressão direta:
Esta manipulação é apenas uma reorganização algébrica válida da equação original e permite eliminar
.
Passo 6
Da equação obtida em bloco na etapa anterior isolamos
:
Dividindo ambos os lados por
vem
Esta é a fórmula buscada: a fração do volume do bloco imersa na água depende só das três densidades. Interpretação rápida: se
então a fração na água é zero (o bloco é tão leve quanto o óleo e não precisa entrar na água); se
então a fração é 1 (precisa deslocar toda a água correspondente).
Passo 7
Agora plugamos os valores numéricos. Substituindo
,
e
em
temos
Passo 8
Convertendo para porcentagem:
Ou seja,
do volume do bloco está imerso na água.
Resposta
28%