Um raio luminoso incide em um bloco retangular feito de vidro ( \mathrm{n}=1.5 ) que está quase totalmente submerso em água ( \mathrm{n}=1.33 ). a) Determine o maior ângulo \theta para o qual ocorre a reflexão interna total no ponto P . Haveria reflexão interna total no ponto P para o valor de \theta calculado no item (a) se o bloco fosse retirado da água?

Passo 1

O enunciado (do jeito que foi passado) dá as seguintes informações:
  • Um bloco retangular de vidro com índice de refração \mathrm{n}=1{,}5.
  • O bloco está quase totalmente submerso em água com índice \mathrm{n}=1{,}33.
  • Um raio luminoso incide no bloco e há um ponto P onde pode ocorrer reflexão interna total.
  • Pede-se: (a) o maior ângulo \theta para o qual ocorre reflexão interna total em P; (b) se houve- ría reflexão interna total em P para o valor de \theta do item (a) caso o bloco fosse retirado da água.
Informação importante que está faltando (por isso não posso dar um único valor numérico definitivo para \theta):
  • Não foi enviada a figura que indica onde exatamente é o ponto P (por exemplo: se P é a face superior do bloco que fica em contato com ar, ou uma face lateral que fica em contato com água) nem a definição geométrica exata do ângulo \theta (se \theta é o ângulo de incidência externo antes de entrar no vidro, ou o ângulo dentro do vidro medido em P, etc.).
    Sem essa figura/definição não há como determinar univocamente o “maior ângulo \theta” pedido no item (a), porque o valor numérico depende de qual superfície está em jogo e de como \theta está definido.

Passo 2

Vou explicar a teoria que você precisa para resolver o problema assim que tiver a figura, passo a passo e com calma — isso serve como o “manual” para aplicar na prova.
Conceitos principais:
  • Lei de Snell (refração): para uma interface entre dois meios com índices n_1 e n_2, os ângulos de incidência \theta_1 e de refração \theta_2 (medidos em relação à normal) satisfazem
n_1\sin(\theta_1)=n_2\sin(\theta_2).
Aqui \theta_1 é o ângulo do raio no meio com índice n_1, \theta_2 é o ângulo no meio com índice n_2.
  • Reflexão interna total (RIT): ocorre quando a luz tenta passar do meio mais denso (maior n) para o meio menos denso (menor n), e o ângulo de incidência dentro do meio mais denso é maior que um ângulo crítico \theta_c. O ângulo crítico é definido pela condição em que o ângulo refratado é 90^\circ (o raio refratado corre ao longo da superfície). Colocando \theta_2=90^\circ na Lei de Snell obtemos:
n_\text{denso}\sin(\theta_c)=n_\text{raro}\sin(90^\circ)=n_\text{raro}.
Assim a fórmula prática é
\sin(\theta_c)=\dfrac{n_\text{raro}}{n_\text{denso}}.
Explicando variáveis: n_\text{denso} é o índice do meio onde está o raio antes de atingir a superfície (aqui o vidro, n=1{,}5 se o raio incide de dentro do vidro), e n_\text{raro} é o índice do meio do outro lado da superfície (água 1{,}33 ou ar 1{,}00). A RIT ocorre para ângulos de incidência internos \theta>\theta_c.

Passo 3

Como eu não tenho a figura, não posso afirmar qual ângulo \theta o enunciado chama de “ \theta”. Mas o que costuma ocorrer em problemas assim é que a pergunta reduz-se a comparar o ângulo interno no vidro com o ângulo crítico da interface relevante. Então abaixo eu calculo os ângulos críticos para as duas interfaces possíveis (vidro–água e vidro–ar). Esses valores vão permitir que você, ao ver a figura, aplique direto e responda a (a) e (b).
Cálculo do ângulo crítico para a interface vidro–água:
  • Aqui n_\text{denso}=1{,}5 (vidro) e n_\text{raro}=1{,}33 (água). Pela fórmula,
\sin(\theta_{c,\text{vidro-água}})=\dfrac{1{,}33}{1{,}5}=0{,}886\overline{6}.á
  • Para achar \theta_{c,\text{vidro-água}}á fazemos arcoseno:
\theta_{c,\text{vidro-água}}=\arcsin\!\left(0{,}886\overline{6}\right)\approx 62{,}5^\circ.á
(Explicando: \arcsin(0{,}8867) dá cerca de 62{,}5^\circ.)

Passo 4

Cálculo do ângulo crítico para a interface vidro–ar:
  • Aqui n_\text{denso}=1{,}5 (vidro) e n_\text{raro}=1{,}00 (ar). Pela fórmula,
\sin(\theta_{c,\text{vidro-ar}})=\dfrac{1{,}00}{1{,}5}=0{,}666\overline{6}.
  • Tomando arcoseno,
\theta_{c,\text{vidro-ar}}=\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)\approx 41{,}8^\circ.

Passo 5

Interpretação prática e resposta ao item (b) com base nesses números:
  • Se o ponto P refere-se à interface vidro–água (isto é, o raio atinge uma face que separa o vidro da água), a RIT ocorrerá quando o ângulo interno no vidro em P for maior que \theta_{c,\text{vidro-água}}\approx 62{,}5^\circá. Esse é o maior ângulo limite para RIT naquela interface.
  • Se o bloco for retirado da água e a interface relevante passar a ser vidro–ar, o ângulo crítico diminui para \theta_{c,\text{vidro-ar}}\approx 41{,}8^\circ. Portanto, qualquer ângulo interno no vidro que seja maior que 41{,}8^\circ produzirá RIT no caso vidro–ar.
Consequência concreta para comparar os casos:
  • Se no item (a) você tivesse obtido como “maior ângulo \theta” exatamente o valor crítico para vidro–água (isto é, \theta\approx62{,}5^\circ), ao retirar o bloco da água você ficaria com a interface vidro–ar cujo ângulo crítico é \approx41{,}8^\circ. Como 62{,}5^\circ>41{,}8^\circ, esse mesmo ângulo interno no vidro resulta em RIT no caso vidro–ar também.
  • Em outras palavras: um ângulo que é maior que \theta_{c,\text{vidro-água}}á certamente é maior que \theta_{c,\text{vidro-ar}} (porque 62{,}5^\circ>41{,}8^\circ), então, se um raio estava em condição de RIT enquanto o bloco estava rodeado por água, ao trocar o exterior para ar a condição de RIT continuará satisfeita — desde que o ângulo interno no vidro permaneça o mesmo.

Passo 6

Resumo de como você deve proceder quando tiver a figura na prova (passo a passo aplicável):
  1. Identifique claramente qual superfície corresponde ao ponto P e em qual meio o raio está imediatamente antes de incidir nessa superfície (isto é, qual é n_\text{denso} e qual é n_\text{raro}).
  2. Use a fórmula do ângulo crítico
\sin(\theta_c)=\dfrac{n_\text{raro}}{n_\text{denso}}
e calcule \theta_c com arco-seno; explique o que cada símbolo significa.
3. Compare o ângulo de incidência interno no vidro (o \theta pedido no enunciado — verifique na figura se \theta é o ângulo dentro do vidro) com \theta_c: se \theta>\theta_c então há RIT; se \theta\le\theta_c não há RIT.
4. Para responder (b) troque n_\text{raro} por 1{,}00 (ar) e repita o cálculo do \theta_c e da comparação.

Resposta

(a) Não é possível determinar o maior ângulo \theta pedido porque a figura que define a posição do ponto P e a definição de \theta não foi fornecida.
(b) Valores úteis: \theta_{c,\text{vidro-água}}=\arcsin\!\left(\dfrac{1{,}33}{1{,}5}\right)\approx 62{,}5^\circá e \theta_{c,\text{vidro-ar}}=\arcsin\!\left(\dfrac{1{,}00}{1{,}5}\right)\approx 41{,}8^\circ. Logo, se o \theta do item (a) fosse \approx62{,}5^\circ (caso vidro–água), ao retirar o bloco (ficando vidro–ar) haveria sim reflexão interna total, pois 62{,}5^\circ>41{,}8^\circ.

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