Uma partícula se move ao longo de uma trajetória retilínea no plano
, descrita pelo vetor posição
cm função do tcmpo t:
onde i e j são os vetores unitários dos eixos
e
, respectivamente. (a) Determine o vetor velocidade e o vetor aceleração da partícula. (b) Calcule os módulos da velocidade e da aceleração em (c) Escreva a equação da trajetória
, eliminando o parâmetro t .
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
Pede:
- (a) o vetor velocidade
e o vetor aceleração ; - (b) os módulos (normas) de
e ; - (c) a equação da trajetória
eliminando o parâmetro .
Informações relevantes dadas:
- componente
; - componente
; -
e são os vetores unitários em e .
Passo 2
Conceito útil: o vetor velocidade é a derivada temporal do vetor posição. Isso significa que derivamos cada componente em relação a
:
Regra de derivação usada: a derivada de
é
, e a derivada de uma constante é zero. Aplicando isso às componentes:
-
. -
.
Portanto,
Passo 3
Conceito útil: o vetor aceleração é a derivada temporal do vetor velocidade. Derivamos novamente componente a componente:
-
. -
.
Portanto,
Observação intuitiva: a aceleração é constante e aponta no sentido positivo do eixo
.
Passo 4
Agora vamos calcular os módulos (normas) dos vetores. Lembrete de fórmula: para um vetor bidimensional
, o módulo é
Aplicando isso à velocidade
:
Podemos fatorar
para simplificar:
Passo 5
Aplicando a mesma fórmula ao vetor aceleração
:
Portanto a aceleração tem magnitude constante igual a
.
Passo 6
Agora eliminamos o parâmetro
para obter a equação da trajetória
.
Dados:
Primeiro isolamos
a partir de
:
Em seguida escrevemos
usando
:
Substituindo
em função de
:
Essa é a equação da trajetória em forma implícita (uma parábola). Se quisermos a forma explícita
, tomamos raiz quadrada:
com domínio
(porque
exige
).
Passo 7
Pequeno exemplo numérico para fixar (opcional para a prova): se
, então
-
, ; -
e ; -
e .
Resposta
(a)
(b)
(c) , equivalente a
(domínio
).
(b)
(c)