Uma partícula se move ao longo de uma trajetória retilínea no plano x y, descrita pelo vetor posição \vec{r}(t) cm função do tcmpo t:
\vec{r}(t)=\left(3 t^{2}-2\right) i+(4 t+1) j \text { (unidades no SI) }
onde i e j são os vetores unitários dos eixos x e y, respectivamente. (a) Determine o vetor velocidade e o vetor aceleração da partícula. (b) Calcule os módulos da velocidade e da aceleração em (c) Escreva a equação da trajetória \mathrm{y}(\mathrm{x}), eliminando o parâmetro t .

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
\vec{r}(t)=\bigl(3 t^{2}-2\bigr)\,\mathbf{i}+\bigl(4 t+1\bigr)\,\mathbf{j}.
Pede:
  • (a) o vetor velocidade \vec{v}(t) e o vetor aceleração \vec{a}(t);
  • (b) os módulos (normas) de \vec{v}(t) e \vec{a}(t);
  • (c) a equação da trajetória y(x) eliminando o parâmetro t.
Informações relevantes dadas:
  • componente x(t)=3 t^{2}-2;
  • componente y(t)=4 t+1;
  • \mathbf{i} e \mathbf{j} são os vetores unitários em x e y.

Passo 2

Conceito útil: o vetor velocidade é a derivada temporal do vetor posição. Isso significa que derivamos cada componente em relação a t:
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(x(t)\bigr)\,\mathbf{i}+\frac{d}{dt}\bigl(y(t)\bigr)\,\mathbf{j}.
Regra de derivação usada: a derivada de a t^{n} é a n t^{n-1}, e a derivada de uma constante é zero. Aplicando isso às componentes:
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(3 t^{2}-2\bigr)=3\cdot2\,t^{1}=6t.
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(4 t+1\bigr)=4.
    Portanto,
\vec{v}(t)=6t\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j}.

Passo 3

Conceito útil: o vetor aceleração é a derivada temporal do vetor velocidade. Derivamos novamente componente a componente:
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(6t\bigr)\,\mathbf{i}+\frac{d}{dt}\bigl(4\bigr)\,\mathbf{j}.
  • \dfrac{d}{dt}(6t)=6.
  • \dfrac{d}{dt}(4)=0.
    Portanto,
\vec{a}(t)=6\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}=6\,\mathbf{i}.
Observação intuitiva: a aceleração é constante e aponta no sentido positivo do eixo x.

Passo 4

Agora vamos calcular os módulos (normas) dos vetores. Lembrete de fórmula: para um vetor bidimensional \vec{u}=u_x\,\mathbf{i}+u_y\,\mathbf{j}, o módulo é
\|\vec{u}\|=\sqrt{u_x^{2}+u_y^{2}}.
Aplicando isso à velocidade \vec{v}(t)=6t\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j}:
\|\vec{v}(t)\|=\sqrt{(6t)^{2}+4^{2}}=\sqrt{36t^{2}+16}.
Podemos fatorar 4 para simplificar:
\|\vec{v}(t)\|=\sqrt{4\,(9t^{2}+4)}=2\sqrt{9t^{2}+4}.

Passo 5

Aplicando a mesma fórmula ao vetor aceleração \vec{a}(t)=6\,\mathbf{i}:
\|\vec{a}(t)\|=\sqrt{6^{2}+0^{2}}=\sqrt{36}=6.
Portanto a aceleração tem magnitude constante igual a 6.

Passo 6

Agora eliminamos o parâmetro t para obter a equação da trajetória y(x).
Dados:
x=3t^{2}-2,\qquad y=4t+1.
Primeiro isolamos t^{2} a partir de x:
t^{2}=\frac{x+2}{3}.
Em seguida escrevemos (y-1)^{2} usando y=4t+1:
(y-1)^{2}=(4t)^{2}=16t^{2}.
Substituindo t^{2} em função de x:
(y-1)^{2}=16\cdot\frac{x+2}{3}=\frac{16}{3}(x+2).
Essa é a equação da trajetória em forma implícita (uma parábola). Se quisermos a forma explícita y(x), tomamos raiz quadrada:
y=1\pm\frac{4}{\sqrt{3}}\sqrt{x+2},
com domínio x\ge -2 (porque t^{2}=(x+2)/3 exige x+2\ge0).

Passo 7

Pequeno exemplo numérico para fixar (opcional para a prova): se t=1, então
  • x=3\cdot1^{2}-2=1, y=4\cdot1+1=5;
  • \vec{v}(1)=6\cdot1\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j}=6\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j} e \|\vec{v}(1)\|=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13};
  • \vec{a}=6\,\mathbf{i} e \|\vec{a}\|=6.

Resposta

(a) \vec{v}(t)=6t\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j},\quad \vec{a}(t)=6\,\mathbf{i}.
(b) \|\vec{v}(t)\|=\sqrt{36t^{2}+16}=2\sqrt{9t^{2}+4},\quad \|\vec{a}(t)\|=6.
(c) (y-1)^{2}=\dfrac{16}{3}(x+2), equivalente a y=1\pm\dfrac{4}{\sqrt{3}}\sqrt{x+2} (domínio x\ge-2).

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