Os dados a seguir representam o custo de energia elétrica durante o mês de julho de 2006 para uma amostra aleatória de 12 apartamentos de quarto e sala em uma cidade grande.
| 172 | 147 | 127 | 141 | 130 | 96 | 123 | 95 | 130 | 139 | 108 | 129 |
|---|
(a) Calcule a média aritmética, a mediana e o primeiro e terceiro quartis.
(b) Calcule a amplitude, a amplitude interquartil, a variância e o desvio padrão.
(c) Baseando-se nos valores encontrados nas letras (a) e (b), a que conclusões você consegue chegar em relação ao custo da energia elétrica no mês de julho de 2006?
(d) Suponha que o primeiro valor fosse 206, ao invés de 172. Que valores calculados anteriormente são mais afetados por esta mudança?
(b) Calcule a amplitude, a amplitude interquartil, a variância e o desvio padrão.
(c) Baseando-se nos valores encontrados nas letras (a) e (b), a que conclusões você consegue chegar em relação ao custo da energia elétrica no mês de julho de 2006?
(d) Suponha que o primeiro valor fosse 206, ao invés de 172. Que valores calculados anteriormente são mais afetados por esta mudança?
Passo 1
Enunciado e dados essenciais (o que se pede e o que temos).
Temos a amostra aleatória de custos (em reais) no mês de julho de 2006:
Temos a amostra aleatória de
O enunciado pede:
(a) Calcular a média aritmética, a mediana e o primeiro e terceiro quartis.
(b) Calcular a amplitude, a amplitude interquartil, a variância e o desvio padrão.
(c) Comentar conclusões sobre o custo a partir dos valores obtidos.
(d) Se o primeiro valor fosse em vez de
, indicar quais valores calculados no (a) e (b) seriam mais afetados.
(a) Calcular a média aritmética, a mediana e o primeiro e terceiro quartis.
(b) Calcular a amplitude, a amplitude interquartil, a variância e o desvio padrão.
(c) Comentar conclusões sobre o custo a partir dos valores obtidos.
(d) Se o primeiro valor fosse
Passo 2
Organização dos dados (etapa necessária antes de muitas estatísticas).
Ordeno os valores em ordem crescente — isso facilita mediana e quartis:
Ordeno os valores em ordem crescente — isso facilita mediana e quartis:
Número de observações:
.
Passo 3
Cálculo da média aritmética — definição, fórmula e aplicação.
Definição: a média aritmética de valores
é
Definição: a média aritmética de
onde
é a média e
é a soma dos valores. Aqui
representa o “valor típico” médio da amostra; ela é sensível a valores extremos (outliers).
Somando os dados temos . Portanto
Somando os dados temos
Passo 4
Cálculo da mediana — definição e procedimento.
Definição: a mediana é o valor que divide a amostra ao meio. Para par, é a média dos dois valores centrais.
Como (par), os dois valores centrais são os 6.º e 7.º da lista ordenada:
e
. Então
Definição: a mediana é o valor que divide a amostra ao meio. Para
Como
Passo 5
Cálculo dos quartis
e
— regra usada e aplicação.
Regra adotada (a mais comum em estatística elementar): para par, o primeiro quartil
é a mediana da metade inferior (valores 1 a 6) e o terceiro quartil
é a mediana da metade superior (valores 7 a 12).
Metade inferior: . Como são 6 valores,
é a média do 3.º e 4.º:
.
Metade superior: .
é a média do 3.º e 4.º dessa metade:
.
Logo
Regra adotada (a mais comum em estatística elementar): para
Metade inferior:
Metade superior:
Logo
Passo 6
Cálculo da amplitude (range) e da amplitude interquartil (IQR) — definições e aplicação.
Amplitude (range) é a diferença entre o maior e o menor valor:
Amplitude (range) é a diferença entre o maior e o menor valor:
Amplitude interquartil (IQR) é
, mede a dispersão do meio
dos dados:
Passo 7
Cálculo da variância amostral — escolha do tipo e fórmula explicada.
Decisão: como as observações formam uma amostra de apartamentos, usamos a variância amostral (unbiased) com denominador . Explico a fórmula:
Se é o número de observações e
a média, a variância amostral é
Decisão: como as observações formam uma amostra de apartamentos, usamos a variância amostral (unbiased) com denominador
Se
Uma forma algébrica prática para calcular é
Vou usar essa identidade para evitar computar muitas subtrações individuais.
Passo 8
Computação numérica de
e aplicação da fórmula da variância.
Calculei os quadrados e sua soma:
Calculei os quadrados e sua soma:
Já tínhamos
. Então
Agora a variância amostral é
Passo 9
Cálculo do desvio padrão — definição e aplicação.
Definição: o desvio padrão amostral é a raiz quadrada da variância amostral:
Definição: o desvio padrão amostral
Assim
Interpretação rápida: em média os custos costumam variar cerca de R$
em relação à média.
Passo 10
Avaliação de presença de outliers (regra de Tukey) — ensinar a regra e aplicar.
Regra de Tukey: pontos fora de são considerados outliers.
Calculo as cercas:
Regra de Tukey: pontos fora de
Calculo as cercas:
Como todos os dados estão entre
e
, nenhum valor está fora dessas cercas; portanto, não temos outliers segundo essa regra.
Passo 11
Interpretação geral dos resultados (resumindo em linguagem simples e incentivadora).
- A média
e a mediana são próximas, o que indica que a distribuição dos custos não é fortemente assimétrica. - A dispersão é moderada:
(metade central dos apartamentos varia por cerca de R$ ) e . - A amplitude total é
, o que mostra que há alguma variação entre o apartamento mais barato e o mais caro, mas não extremos fora do esperado (sem outliers por Tukey). - Conclusão prática: na amostra, a maioria dos custos está concentrada entre aproximadamente R$
e R$ , com média em torno de R$ .
Passo 12
Análise do cenário alternativo (substituir
por
): calcular efeitos e concluir.
Substituo o maior valor por
. As alterações principais:
Substituo o maior valor
- Nova soma:
. Nova média:
- A soma dos quadrados nova:
. - Soma dos quadrados centrados:
- Nova variância amostral:
- Novo desvio padrão:
Quartis e mediana: como alterei só o maior valor, a ordem dos outros elementos não mudou; portanto
,
e a mediana permanecem iguais:
Amplitude passou de
para
.
Conclusão: a mudança afeta fortemente média, amplitude, variância e desvio padrão (quantidades sensíveis a valores extremos). Mediana e quartis são robustos e não foram afetados.
Conclusão: a mudança afeta fortemente média, amplitude, variância e desvio padrão (quantidades sensíveis a valores extremos). Mediana e quartis são robustos e não foram afetados.
Resposta
(a)
mediana
(b) amplitude
IQR
variância amostral
desvio padrão
(c) A média e a mediana são próximas (128,08 vs 129,5), indicando distribuição aproximadamente simétrica; a dispersão é moderada (
,
); a maioria dos custos está entre R$
e R$
; não há outliers segundo a regra de Tukey.
(d) Os valores mais afetados são a média, a amplitude, a variância e o desvio padrão (todos aumentam significativamente). A mediana e os quartis praticamente não mudam.