Os dados a seguir representam o custo de energia elétrica durante o mês de julho de 2006 para uma amostra aleatória de 12 apartamentos de quarto e sala em uma cidade grande.
172 147 127 141 130 96 123 95 130 139 108 129
(a) Calcule a média aritmética, a mediana e o primeiro e terceiro quartis.
(b) Calcule a amplitude, a amplitude interquartil, a variância e o desvio padrão.
(c) Baseando-se nos valores encontrados nas letras (a) e (b), a que conclusões você consegue chegar em relação ao custo da energia elétrica no mês de julho de 2006?
(d) Suponha que o primeiro valor fosse 206, ao invés de 172. Que valores calculados anteriormente são mais afetados por esta mudança?

Passo 1

Enunciado e dados essenciais (o que se pede e o que temos).
Temos a amostra aleatória de n=12 custos (em reais) no mês de julho de 2006:
172,\;147,\;127,\;141,\;130,\;96,\;123,\;95,\;130,\;139,\;108,\;129.
O enunciado pede:
(a) Calcular a média aritmética, a mediana e o primeiro e terceiro quartis.
(b) Calcular a amplitude, a amplitude interquartil, a variância e o desvio padrão.
(c) Comentar conclusões sobre o custo a partir dos valores obtidos.
(d) Se o primeiro valor fosse 206 em vez de 172, indicar quais valores calculados no (a) e (b) seriam mais afetados.

Passo 2

Organização dos dados (etapa necessária antes de muitas estatísticas).
Ordeno os valores em ordem crescente — isso facilita mediana e quartis:
95,\;96,\;108,\;123,\;127,\;129,\;130,\;130,\;139,\;141,\;147,\;172.
Número de observações: n=12.

Passo 3

Cálculo da média aritmética — definição, fórmula e aplicação.
Definição: a média aritmética de n valores x_1,\dots,x_n é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i,
onde \bar{x} é a média e \sum_{i=1}^n x_i é a soma dos valores. Aqui \bar{x} representa o “valor típico” médio da amostra; ela é sensível a valores extremos (outliers).
Somando os dados temos \sum x_i=1537. Portanto
\bar{x}=\frac{1537}{12}\approx 128,083.

Passo 4

Cálculo da mediana — definição e procedimento.
Definição: a mediana é o valor que divide a amostra ao meio. Para n par, é a média dos dois valores centrais.
Como n=12 (par), os dois valores centrais são os 6.º e 7.º da lista ordenada: 129 e 130. Então
\text{mediana}=\frac{129+130}{2}=\frac{259}{2}=129,5.

Passo 5

Cálculo dos quartis Q_1 e Q_3 — regra usada e aplicação.
Regra adotada (a mais comum em estatística elementar): para n par, o primeiro quartil Q_1 é a mediana da metade inferior (valores 1 a 6) e o terceiro quartil Q_3 é a mediana da metade superior (valores 7 a 12).
Metade inferior: 95,\,96,\,108,\,123,\,127,\,129. Como são 6 valores, Q_1 é a média do 3.º e 4.º: (108+123)/2=115,5.
Metade superior: 130,\,130,\,139,\,141,\,147,\,172. Q_3 é a média do 3.º e 4.º dessa metade: (139+141)/2=140.
Logo
Q_1=115,5,\qquad Q_3=140.

Passo 6

Cálculo da amplitude (range) e da amplitude interquartil (IQR) — definições e aplicação.
Amplitude (range) é a diferença entre o maior e o menor valor:
\text{amplitude}=\max(x)-\min(x)=172-95=77.
Amplitude interquartil (IQR) é Q_3-Q_1, mede a dispersão do meio 50\% dos dados:
\text{IQR}=Q_3-Q_1=140-115,5=24,5.

Passo 7

Cálculo da variância amostral — escolha do tipo e fórmula explicada.
Decisão: como as observações formam uma amostra de apartamentos, usamos a variância amostral (unbiased) com denominador n-1. Explico a fórmula:
Se n é o número de observações e \bar{x} a média, a variância amostral é
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}.
Uma forma algébrica prática para calcular é
\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^{2}=\sum_{i=1}^n x_i^{2}-\frac{(\sum_{i=1}^n x_i)^{2}}{n}.
Vou usar essa identidade para evitar computar muitas subtrações individuais.

Passo 8

Computação numérica de \sum x_i^{2} e aplicação da fórmula da variância.
Calculei os quadrados e sua soma:
\sum_{i=1}^{12}x_i^{2}=201999.
Já tínhamos \sum x_i=1537. Então
\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}=201999-\frac{1537^{2}}{12}=201999-\frac{2362369}{12}=5134,916666\ldots
Agora a variância amostral é
s^{2}=\frac{5134,916666\ldots}{n-1}=\frac{5134,916666\ldots}{11}\approx 467,720.

Passo 9

Cálculo do desvio padrão — definição e aplicação.
Definição: o desvio padrão amostral s é a raiz quadrada da variância amostral:
s=\sqrt{s^{2}}.
Assim
s=\sqrt{467,719696\ldots}\approx 21,627.
Interpretação rápida: em média os custos costumam variar cerca de R$ 21,63 em relação à média.

Passo 10

Avaliação de presença de outliers (regra de Tukey) — ensinar a regra e aplicar.
Regra de Tukey: pontos fora de [Q_1-1{,}5\cdot\text{IQR},\;Q_3+1{,}5\cdot\text{IQR}] são considerados outliers.
Calculo as cercas:
Q_1-1{,}5\cdot\text{IQR}=115{,}5-1{,}5\cdot24{,}5=115{,}5-36{,}75=78{,}75,
Q_3+1{,}5\cdot\text{IQR}=140+36{,}75=176{,}75.
Como todos os dados estão entre 95 e 172, nenhum valor está fora dessas cercas; portanto, não temos outliers segundo essa regra.

Passo 11

Interpretação geral dos resultados (resumindo em linguagem simples e incentivadora).
  • A média \bar{x}\approx 128{,}08 e a mediana 129{,}5 são próximas, o que indica que a distribuição dos custos não é fortemente assimétrica.
  • A dispersão é moderada: \text{IQR}=24{,}5 (metade central dos apartamentos varia por cerca de R$ 24{,}50) e s\approx 21{,}63.
  • A amplitude total é 77, o que mostra que há alguma variação entre o apartamento mais barato e o mais caro, mas não extremos fora do esperado (sem outliers por Tukey).
  • Conclusão prática: na amostra, a maioria dos custos está concentrada entre aproximadamente R$ 115{,}5 e R$ 140, com média em torno de R$ 128.

Passo 12

Análise do cenário alternativo (substituir 172 por 206): calcular efeitos e concluir.
Substituo o maior valor 172 por 206. As alterações principais:
  • Nova soma: \sum x_i'=1537-172+206=1571. Nova média:
\bar{x}'=\frac{1571}{12}\approx 130{,}917.
  • A soma dos quadrados nova: \sum x_i^{2}{}'=201999-172^{2}+206^{2}=201999-29584+42436=214851.
  • Soma dos quadrados centrados:
\sum (x_i-\bar{x}')^{2}=214851-\frac{1571^{2}}{12}=214851-\frac{2468041}{12}=9180{,}916666\ldots
  • Nova variância amostral:
s'^{2}=\frac{9180{,}916666\ldots}{11}\approx 834{,}629.
  • Novo desvio padrão:
s'=\sqrt{834{,}629}\approx 28{,}886.
Quartis e mediana: como alterei só o maior valor, a ordem dos outros elementos não mudou; portanto Q_1, Q_3 e a mediana permanecem iguais:
\text{mediana}=129{,}5,\quad Q_1=115{,}5,\quad Q_3=140.
Amplitude passou de 77 para 206-95=111.
Conclusão: a mudança afeta fortemente média, amplitude, variância e desvio padrão (quantidades sensíveis a valores extremos). Mediana e quartis são robustos e não foram afetados.

Resposta

(a) \bar{x}=\dfrac{1537}{12}\approx128{,}083, mediana =129{,}5, Q_1=115{,}5, Q_3=140.
(b) amplitude =77, IQR =24{,}5, variância amostral s^{2}\approx467{,}720, desvio padrão s\approx21{,}627.
(c) A média e a mediana são próximas (128,08 vs 129,5), indicando distribuição aproximadamente simétrica; a dispersão é moderada ( \text{IQR}=24{,}5, s\approx21{,}63); a maioria dos custos está entre R$ 115{,}5 e R$ 140; não há outliers segundo a regra de Tukey.
(d) Os valores mais afetados são a média, a amplitude, a variância e o desvio padrão (todos aumentam significativamente). A mediana e os quartis praticamente não mudam.

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