Um leopardo africano persegue um antílope e suas coordenadas x variam de acordo com a equação x(t)=5 t^{2}+20, onde x é dado em metros e t em segundos. a) Determine o deslocamento do leopardo entre os instantes 1 e 2 segundos. b) Encontre a velocidade média durante os instantes 1 e 2 segundos. c) Ache a velocidade instantânea no instante 2 s .

Passo 1

O enunciado nos dá a posição do leopardo em função do tempo na forma
x(t)=5\,t^{2}+20
com x em metros e t em segundos. Pede-se:
– o deslocamento \Delta x entre t=1 s e t=2 s;
– a velocidade média \bar v nesse intervalo;
– a velocidade instantânea v(t) no instante t=2 s.
Para isso usaremos definição de deslocamento, razão de variação média e derivada de x(t).

Passo 2

Calculamos a posição nos instantes pedidos e o deslocamento:
x(1)=5\cdot1^{2}+20=25
x(2)=5\cdot2^{2}+20=40
Logo
\Delta x = x(2)-x(1)=40-25=15\\ \text{m}.

Passo 3

A velocidade média é dada por
\bar v = \frac{\Delta x}{\Delta t}
com \Delta t=2-1=1 s. Assim,
\bar v = \frac{15}{1}=15\\ \text{m/s}.

Passo 4

A velocidade instantânea é a derivada da posição:
v(t)=x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(5t^{2}+20\bigr)=10\,t.
No instante t=2 s,
v(2)=10\cdot2=20\\ \text{m/s}.

Resposta

a) \Delta x=15 m
b) \bar v=15 m/s
c) v(2)=20 m/s

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