Sabendo que um móvel se desloca segundo a função x(t)=9-6 t+t^{2}, determine:
a) A função velocidade v(t) e a função aceleração a(t). b) O instante que o objeto para e sua correspondente posição. c) Os gráficos de x \times t ; v \times t ; a \times t.

Passo 1

O enunciado dá o movimento de um móvel pela função de posição
x(t) = 9 - 6\,t + t^2
e pede:
a) a função velocidade v(t) e a função aceleração a(t);
b) o instante em que o móvel para (isto é, v(t)=0) e sua posição correspondente;
c) os gráficos de x versus t, v versus t e a versus t.
Para isso vamos usar derivação para obter v e a, depois resolver v(t)=0 e, por fim, esboçar a forma das curvas.

Passo 2

A velocidade é a derivada de x(t) em relação a t:
v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(9 - 6\,t + t^2\bigr) = -6 + 2\,t.
A aceleração é a derivada de v(t):
a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(-6 + 2\,t) = 2.

Passo 3

Para achar quando o móvel para, fazemos
v(t) = -6 + 2\,t = 0
e obtemos
2\,t = 6 \quad\Longrightarrow\quad t = 3.
A posição correspondente é
x(3) = 9 - 6\cdot3 + 3^2 = 9 - 18 + 9 = 0.

Passo 4

Esboço dos gráficos: \bullet x(t)=t^2-6t+9=(t-3)^2 é uma parábola voltada para cima, com vértice em (3,0). \bullet v(t)=-6+2t é uma reta de coeficiente angular 2, que corta o eixo t em t=3 (passa por (0,-6) e (3,0)). \bullet a(t)=2 é uma reta horizontal constante valendo 2.

Resposta

a) v(t) = -6 + 2\,t e a(t) = 2.
b) O móvel para em t = 3 e então x(3) = 0.
c) x\times t: parábola (t-3)^2 com vértice em (3,0). v\times t: reta de inclinação 2, zero em t=3. a\times t: linha horizontal em a=2.

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