Passo 1
Enunciado dado:
O que se pede: verificar se essa desigualdade é verdadeira e, se necessário, calcular o valor da integral.
Informações fornecidas: a função integranda é e o intervalo de integração é
. Os números
e
são os limites que a desigualdade propõe para o valor da integral.
O que se pede: verificar se essa desigualdade é verdadeira e, se necessário, calcular o valor da integral.
Informações fornecidas: a função integranda é
Passo 2
Vamos lembrar a regra básica para primitiva (antiderivada) de potências: para qualquer
,
Aqui
é a variável de integração,
é o expoente, e
é a constante de integração (não interessa para integrais definidas).
No nosso caso , então basta aplicar a fórmula com
. Substituindo:
No nosso caso
Como verificação rápida, podemos derivar
e obter
, o que confirma que a primitiva está correta.
Passo 3
Agora calculamos a integral definida usando a primitiva achada:
Calculemos
. Por definição
E
Assim
Em forma decimal
.
Agora verificamos a desigualdade proposta comparando
com
e
:
logo
.
Passo 4
Mostro também um método mais rápido, sem calcular exatamente a integral, que é útil em prova: para todo
temos
Integrando essa desigualdade termo a termo em
obtemos
ou seja
Esse argumento mostra diretamente que a desigualdade é verdadeira sem precisar do valor exato; é uma técnica muito útil quando se pede apenas uma estimativa.
Passo 5
Resumo rápido e encorajamento: calculamos a integral exatamente (
) e também mostramos uma maneira de obter a desigualdade por comparação com constantes. Isso é bom para prova — às vezes é mais rápido usar comparação, às vezes é necessário calcular a integral. Você já tá mandando bem por acompanhar passo a passo — respira e segue firme!