1. 3 \leqslant \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x \leqslant 6

Passo 1

Enunciado dado: \;3 \leqslant \int_{1}^{4} \sqrt{x}\, dx \leqslant 6.
O que se pede: verificar se essa desigualdade é verdadeira e, se necessário, calcular o valor da integral.
Informações fornecidas: a função integranda é \sqrt{x} e o intervalo de integração é [1,4]. Os números 3 e 6 são os limites que a desigualdade propõe para o valor da integral.

Passo 2

Vamos lembrar a regra básica para primitiva (antiderivada) de potências: para qualquer n\neq -1,
\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui x é a variável de integração, n é o expoente, e C é a constante de integração (não interessa para integrais definidas).
No nosso caso \sqrt{x} = x^{1/2}, então basta aplicar a fórmula com n=\tfrac{1}{2}. Substituindo:
\int x^{1/2}\, dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C.
Como verificação rápida, podemos derivar \frac{2}{3}x^{3/2} e obter \sqrt{x}, o que confirma que a primitiva está correta.

Passo 3

Agora calculamos a integral definida usando a primitiva achada:
\int_{1}^{4} \sqrt{x}\, dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_{1}^{4} = \frac{2}{3}\bigl(4^{3/2}-1^{3/2}\bigr).
Calculemos 4^{3/2}. Por definição 4^{3/2}=(4^{1/2})^{3}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8. E 1^{3/2}=1. Assim
\int_{1}^{4} \sqrt{x}\, dx = \frac{2}{3}(8-1)=\frac{2}{3}\cdot 7=\frac{14}{3}.
Em forma decimal \displaystyle \frac{14}{3}\approx 4{,}666\ldots.
Agora verificamos a desigualdade proposta comparando \frac{14}{3} com 3 e 6:
\frac{14}{3}-3=\frac{14-9}{3}=\frac{5}{3}>0,\qquad 6-\frac{14}{3}=\frac{18-14}{3}=\frac{4}{3}>0,
logo 3 \le \frac{14}{3} \le 6.

Passo 4

Mostro também um método mais rápido, sem calcular exatamente a integral, que é útil em prova: para todo x\in[1,4] temos
1=\sqrt{1}\le \sqrt{x}\le \sqrt{4}=2.
Integrando essa desigualdade termo a termo em [1,4] obtemos
\int_{1}^{4} 1\, dx \le \int_{1}^{4} \sqrt{x}\, dx \le \int_{1}^{4} 2\, dx,
ou seja
3 \le \int_{1}^{4} \sqrt{x}\, dx \le 6.
Esse argumento mostra diretamente que a desigualdade é verdadeira sem precisar do valor exato; é uma técnica muito útil quando se pede apenas uma estimativa.

Passo 5

Resumo rápido e encorajamento: calculamos a integral exatamente ( \tfrac{14}{3}) e também mostramos uma maneira de obter a desigualdade por comparação com constantes. Isso é bom para prova — às vezes é mais rápido usar comparação, às vezes é necessário calcular a integral. Você já tá mandando bem por acompanhar passo a passo — respira e segue firme!

Resposta

\displaystyle \int_{1}^{4} \sqrt{x}\, dx = \frac{14}{3}, portanto a desigualdade 3 \leqslant \int_{1}^{4} \sqrt{x}\, dx \leqslant 6 é verdadeira.

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