1. 0 \leqslant \int_{0}^{2} x e^{-x} d x \leqslant 2 / e

Passo 1

O enunciado afirma a desigualdade
0 \leqslant \int_{0}^{2} x e^{-x}\,dx \leqslant \frac{2}{e}.
O que nos pedem é verificar essa desigualdade para a integral definida de x e^{-x} no intervalo [0,2]. As informações relevantes são: o integrando é x e^{-x} e o intervalo de integração é [0,2]. Não há outras hipóteses ocultas.

Passo 2

Mostrar a parte esquerda 0 \leqslant \int_{0}^{2} x e^{-x}\,dx. Para isso observe que, para todo x\in[0,2], temos x\geqslant 0 e e^{-x}>0. Portanto o produto x e^{-x} é não negativo em todo o intervalo. Uma propriedade básica de integrais é: se f(x)\ge 0 em [a,b], então \int_a^b f(x)\,dx \ge 0. Assim concluímos
0 \leqslant \int_{0}^{2} x e^{-x}\,dx.
Explicação didática curta: e^{-x} é sempre positivo porque é uma exponencial; multiplicando por x\ge0 o integrando fica não negativo, logo a área sob a curva é não negativa.

Passo 3

Agora vamos obter o limite superior \int_{0}^{2} x e^{-x}\,dx \leqslant \frac{2}{e}. Uma maneira eficiente é notar que o integrando tem um máximo fácil de localizar em [0,2]. Defina a função
f(x)=x e^{-x}.
Para achar máximos usamos derivada (regra do produto). Calculemos f'(x):
f'(x) = \frac{d}{dx}(x)\,e^{-x} + x\,\frac{d}{dx}(e^{-x}) = 1\cdot e^{-x} + x\cdot(-e^{-x}) = e^{-x}(1-x).
Aqui expliquei cada termo: a derivada de x é 1; a derivada de e^{-x} é -e^{-x}. Como e^{-x}>0 sempre, o sinal de f'(x) é o mesmo de 1-x. Então:
  • f'(x)>0 para x<1 (função crescente em [0,1));
  • f'(x)=0 em x=1 (ponto crítico);
  • f'(x)<0 para x>1 (função decrescente em (1,2]).
Portanto o máximo de f em [0,2] ocorre em x=1. Avaliando:
f(1)=1\cdot e^{-1}=\frac{1}{e}.
Logo para todo x\in[0,2] vale x e^{-x}\leqslant \frac{1}{e}.

Passo 4

Com a desigualdade ponto a ponto x e^{-x}\leqslant \frac{1}{e} para x\in[0,2], integrando ambos os lados no intervalo [0,2] obtemos
\int_{0}^{2} x e^{-x}\,dx \leqslant \int_{0}^{2} \frac{1}{e}\,dx = \frac{1}{e}\cdot (2-0)=\frac{2}{e}.
Isto estabelece a parte direita da desigualdade desejada.

Passo 5

Para reforçar e para você ter uma resposta mais forte (útil na prova), vamos calcular a integral exatamente por partes e comparar com \tfrac{2}{e}. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolha u=x (então du=dx) e dv=e^{-x}dx (então v=-e^{-x}). Assim
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - \int (-e^{-x})\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x}+C.
Avalie de 0 a 2:
\int_{0}^{2} x e^{-x}\,dx = \big[ -(x+1)e^{-x} \big]_{0}^{2} = -(2+1)e^{-2} - \big( -(0+1)e^{0}\big) = -3e^{-2} + 1.
Portanto a integral tem valor exato
\int_{0}^{2} x e^{-x}\,dx = 1 - 3e^{-2}.

Passo 6

Verificamos numericamente ou algebricamente que esse valor satisfaz a desigualdade superior. Queremos mostrar
1 - 3e^{-2} \leqslant \frac{2}{e}.
Multiplicando ambos os lados por e^{2}>0 obtém-se a equivalência
e^{2} - 3 \leqslant 2e \quad\Longleftrightarrow\quad e^{2} - 2e -3 \leqslant 0.
Note que e^{2}-2e-3=(e-3)(e+1). Como e>0 temos e+1>0; e sabemos que e<3 (pois e\approx 2,718), logo e-3<0. Assim o produto (e-3)(e+1)\le 0, o que prova a desigualdade desejada estritamente. Em termos intuitivos: 1-3e^{-2}\approx 0,594 e 2/e\approx 0,736, logo a desigualdade é verdadeira.

Resposta

\int_{0}^{2} x e^{-x}\,dx = 1 - 3e^{-2}
0 \leqslant \int_{0}^{2} x e^{-x}\,dx \leqslant \dfrac{2}{e}

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