Passo 1
O enunciado afirma a desigualdade
O que nos pedem é verificar essa desigualdade para a integral definida de
no intervalo
. As informações relevantes são: o integrando é
e o intervalo de integração é
. Não há outras hipóteses ocultas.
Passo 2
Mostrar a parte esquerda
. Para isso observe que, para todo
, temos
e
. Portanto o produto
é não negativo em todo o intervalo. Uma propriedade básica de integrais é: se
em
, então
. Assim concluímos
Explicação didática curta:
é sempre positivo porque é uma exponencial; multiplicando por
o integrando fica não negativo, logo a área sob a curva é não negativa.
Passo 3
Agora vamos obter o limite superior
. Uma maneira eficiente é notar que o integrando tem um máximo fácil de localizar em
. Defina a função
Para achar máximos usamos derivada (regra do produto). Calculemos
:
Aqui expliquei cada termo: a derivada de
é
; a derivada de
é
. Como
sempre, o sinal de
é o mesmo de
. Então:
-
para (função crescente em ); -
em (ponto crítico); -
para (função decrescente em ).
Portanto o máximo de
em
ocorre em
. Avaliando:
Logo para todo
vale
.
Passo 4
Com a desigualdade ponto a ponto
para
, integrando ambos os lados no intervalo
obtemos
Isto estabelece a parte direita da desigualdade desejada.
Passo 5
Para reforçar e para você ter uma resposta mais forte (útil na prova), vamos calcular a integral exatamente por partes e comparar com
. A fórmula de integração por partes é
Escolha
(então
) e
(então
). Assim
Avalie de
a
:
Portanto a integral tem valor exato
Passo 6
Verificamos numericamente ou algebricamente que esse valor satisfaz a desigualdade superior. Queremos mostrar
Multiplicando ambos os lados por
obtém-se a equivalência
Note que
. Como
temos
; e sabemos que
(pois
), logo
. Assim o produto
, o que prova a desigualdade desejada estritamente. Em termos intuitivos:
e
, logo a desigualdade é verdadeira.