Let ( x_{n} ) and ( y_{n} ) be two convergent sequences of real numbers such that x_{n} \rightarrow x and y_{n} \rightarrow y. Show that the sequence of general term z_{n}=\min \left\{x_{n}, y_{n}\right\} converges and that z_{n} \rightarrow \min \{x, y\}.
13. Consider the sequence ( u_{n} ) defined recursively by
\left\{\begin{array}{l} u_{1}=1 \\\ u_{n}=\frac{u_{n-1}-1}{2}, \quad \forall n>1 \end{array}\right.
Explain why ( u_{n} ) is convergent and evaluate its limit.

Passo 1

Dados e perguntas:
  • Temos duas sequências convergentes de números reais (x_{n})\) e \((y_{n})\) tais que \(\,x_{n}\rightarrow x\) e \(\,y_{n}\rightarrow y\). - Definimos a sequência \((z_{n})\) por \(\;z_{n}=\min\{x_{n},y_{n}\}\). A pergunta é mostrar que \((z_{n})\) converge e que \[\lim_{n\to\infty} z_{n} = \min\{x,y\}.
  • Além disso, temos a sequência (u_{n}) definida por recorrência:
\begin{cases} u_{1}=1,\\[4pt] u_{n}=\dfrac{u_{n-1}-1}{2},\quad \forall n>1. \end{cases}
A pergunta é explicar por que ((u_{n})] é convergente e calcular o seu limite.]

Passo 2

Estratégia para o primeiro item (sem ainda resolver): é útil reescrever \min\{a,b\} usando operações algébricas e o valor absoluto, porque sabemos propriedades de limite para soma, diferença, multiplicação por constante e valor absoluto. A identidade algebraica que vamos usar é
\min\{a,b\}=\frac{a+b-|a-b|}{2},
válida para quaisquer números reais a e b. Mostrarei por que essa fórmula é verdadeira (rápido) e depois aplicarei limites às sequências.

Passo 3

Verificando a identidade \min\{a,b\}=\dfrac{a+b-|a-b|}{2}:
  • Se a\le b, então |a-b|=b-a. Substituindo,
\frac{a+b-|a-b|}{2}=\frac{a+b-(b-a)}{2}=\frac{2a}{2}=a=\min\{a,b\}.
  • Se a>b, então |a-b|=a-b. Substituindo,
\frac{a+b-|a-b|}{2}=\frac{a+b-(a-b)}{2}=\frac{2b}{2}=b=\min\{a,b\}.
Portanto a identidade vale em todos os casos.

Passo 4

Propriedades de limite que usaremos (explicação didática e justificativa curta):
  • Se \,x_{n}\to x e \,y_{n}\to y, então \,x_{n}+y_{n}\to x+y e \,x_{n}-y_{n}\to x-y. Intuição: quando cada parcela fica próxima do seu limite, a soma (ou diferença) fica próxima da soma (ou diferença) dos limites. Formalmente usa-se a desigualdade triangular e definições \varepsilon- \delta, mas aqui vamos usar essa propriedade conhecida.
  • Se \,w_{n}\to w então, com qualquer constante c, \,cw_{n}\to cw.
  • O valor absoluto é uma função contínua: se \,t_{n}\to t então |t_{n}|\to|t|. Uma maneira simples de ver isso é a desigualdade
\big||t_{n}|-|t|\big|\le |t_{n}-t|,
que implica imediatamente a convergência de |t_{n}| para |t|.
Vou usar estas propriedades aplicadas às sequências x_{n} e y_{n}.

Passo 5

Aplicando a identidade ao termo geral z_{n}:
z_{n}=\min\{x_{n},y_{n}\}=\frac{x_{n}+y_{n}-|x_{n}-y_{n}|}{2}.
Agora passo a passo sobre os limites das parcelas:
  • Como x_{n}\to x e y_{n}\to y, temos x_{n}+y_{n}\to x+y.
  • Como x_{n}-y_{n}\to x-y, pela continuidade do valor absoluto obtemos |x_{n}-y_{n}|\to |x-y|.
  • Portanto a combinação x_{n}+y_{n}-|x_{n}-y_{n}| converge para x+y-|x-y|.
  • Ao dividir por 2 (multiplicação por constante), obtemos
\lim_{n\to\infty} z_{n} = \frac{x+y-|x-y|}{2}.

Passo 6

Concluir que \dfrac{x+y-|x-y|}{2}=\min\{x,y\}: este é exatamente a mesma identidade que verificamos no Passo 3, agora aplicada aos limites x e y. Logo
\lim_{n\to\infty} z_{n} = \min\{x,y\}.
Isso prova que (z_{n}) converge e que o limite é \min\{x,y\}.

Passo 7

Agora o segundo item: reescrevendo a recorrência e pensando no limite. A sequência (u_{n}) satisfaz
u_{n}=\frac{u_{n-1}-1}{2},\qquad u_{1}=1.
Se (u_{n}) converge para algum limite L, então passando ao limite dos dois lados da recorrência (e lembrando que o deslocamento de índice não altera o limite), L deve satisfazer
L=\frac{L-1}{2}.

Passo 8

Resolve-se a equação para L:
L=\frac{L-1}{2}\quad\Longrightarrow\quad 2L=L-1\quad\Longrightarrow\quad L=-1.
Então, se a sequência converge, o único candidato possível para limite é -1. Agora precisamos justificar que a sequência realmente converge.

Passo 9

Transformação que mostra convergência exponencial: defina
v_{n}=u_{n}-L = u_{n}+1.
Vamos obter uma recorrência simples para (v_{n}). Usando a recorrência de u_{n},
v_{n}=u_{n}+1=\frac{u_{n-1}-1}{2}+1=\frac{u_{n-1}-1+2}{2}=\frac{u_{n-1}+1}{2}=\frac{v_{n-1}}{2}.
Portanto (v_{n}) é uma progressão geométrica com razão \tfrac{1}{2}. Como v_{1}=u_{1}+1=1+1=2, temos explicitamente
v_{n}=2\left(\frac{1}{2}\right)^{\,n-1}=2^{\,2-n}.
Como |\tfrac{1}{2}|<1, segue que v_{n}\to 0 quando n\to\infty. Finalmente, voltando a u_{n},
u_{n}=v_{n}-1 \longrightarrow 0-1=-1.
Assim (u_{n}) converge e seu limite é -1. Também temos a fórmula explícita
u_{n}=-1+2\left(\frac{1}{2}\right)^{\,n-1}.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} z_{n}=\min\{x,y\}\n
\displaystyle \lim_{n\to\infty} u_{n}=-1

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