Let ( x_{n} ) and ( y_{n} ) be two convergent sequences of real numbers such that x_{n} \rightarrow x and y_{n} \rightarrow y. Show that the sequence of general term z_{n}=\min \left\{x_{n}, y_{n}\right\} converges and that z_{n} \rightarrow \min \{x, y\}.
13. Consider the sequence ( u_{n} ) defined recursively by
Explain why ( u_{n} ) is convergent and evaluate its limit.
Passo 1
Dados e perguntas:
Temos duas sequências convergentes de números reais (x_{n})\) e \((y_{n})\) tais que \(\,x_{n}\rightarrow x\) e \(\,y_{n}\rightarrow y\).
- Definimos a sequência \((z_{n})\) por \(\;z_{n}=\min\{x_{n},y_{n}\}\). A pergunta é mostrar que \((z_{n})\) converge e que
\[\lim_{n\to\infty} z_{n} = \min\{x,y\}.
Além disso, temos a sequência (u_{n}) definida por recorrência:
A pergunta é explicar por que ((u_{n})] é convergente e calcular o seu limite.]
Passo 2
Estratégia para o primeiro item (sem ainda resolver): é útil reescrever \min\{a,b\} usando operações algébricas e o valor absoluto, porque sabemos propriedades de limite para soma, diferença, multiplicação por constante e valor absoluto. A identidade algebraica que vamos usar é
\min\{a,b\}=\frac{a+b-|a-b|}{2},
válida para quaisquer números reais a e b. Mostrarei por que essa fórmula é verdadeira (rápido) e depois aplicarei limites às sequências.
Passo 3
Verificando a identidade \min\{a,b\}=\dfrac{a+b-|a-b|}{2}:
Propriedades de limite que usaremos (explicação didática e justificativa curta):
Se \,x_{n}\to x e \,y_{n}\to y, então \,x_{n}+y_{n}\to x+y e \,x_{n}-y_{n}\to x-y. Intuição: quando cada parcela fica próxima do seu limite, a soma (ou diferença) fica próxima da soma (ou diferença) dos limites. Formalmente usa-se a desigualdade triangular e definições \varepsilon-\delta, mas aqui vamos usar essa propriedade conhecida.
Se \,w_{n}\to w então, com qualquer constante c, \,cw_{n}\to cw.
O valor absoluto é uma função contínua: se \,t_{n}\to t então |t_{n}|\to|t|. Uma maneira simples de ver isso é a desigualdade
\big||t_{n}|-|t|\big|\le |t_{n}-t|,
que implica imediatamente a convergência de |t_{n}| para |t|.
Vou usar estas propriedades aplicadas às sequências x_{n} e y_{n}.
Agora passo a passo sobre os limites das parcelas:
Como x_{n}\to x e y_{n}\to y, temos x_{n}+y_{n}\to x+y.
Como x_{n}-y_{n}\to x-y, pela continuidade do valor absoluto obtemos |x_{n}-y_{n}|\to |x-y|.
Portanto a combinação x_{n}+y_{n}-|x_{n}-y_{n}| converge para x+y-|x-y|.
Ao dividir por 2 (multiplicação por constante), obtemos
\lim_{n\to\infty} z_{n} = \frac{x+y-|x-y|}{2}.
Passo 6
Concluir que \dfrac{x+y-|x-y|}{2}=\min\{x,y\}: este é exatamente a mesma identidade que verificamos no Passo 3, agora aplicada aos limites x e y. Logo
\lim_{n\to\infty} z_{n} = \min\{x,y\}.
Isso prova que (z_{n}) converge e que o limite é \min\{x,y\}.
Passo 7
Agora o segundo item: reescrevendo a recorrência e pensando no limite. A sequência (u_{n}) satisfaz
u_{n}=\frac{u_{n-1}-1}{2},\qquad u_{1}=1.
Se (u_{n}) converge para algum limite L, então passando ao limite dos dois lados da recorrência (e lembrando que o deslocamento de índice não altera o limite), L deve satisfazer