Let f(x)=xraiz1+x^2, then underbracef circ f circ f o ldots of n times (x) is :

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir qual é a função resultante de aplicar a função $ f(x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} $ repetidamente, $ n $ vezes. A matéria envolvida aqui é principalmente sobre funções compostas e repetição de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como compor funções e identificar um padrão que se repete a cada aplicação de $ f $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa compor uma função consigo mesma. Compor $ f $ duas vezes, por exemplo, é calcular $ f(f(x)) $. Então, nossa meta é generalizar isso para $ n $ composições, ou seja, $ f \circ f \circ f \circ ··· $ $ n $ vezes.

Passo 3

Vamos começar calculando as primeiras composições para identificar um padrão:
  1. Primeira composição ($ n = 1 $):
    n = 1
  2. Segunda composição ($ n = 2 $):
    f^1(x) = f(x) = xraiz1 + x^2
    Simplificando o denominador:
    n = 2
    Então:
    f^2(x) = f(f(x)) = f(xraiz1 + x^2) = xraiz1 + x^2raiz1 + (xraiz1 + x^2)^2

Passo 4

Continuando esse processo, percebemos que a cada nova composição, o denominador dentro da raiz quadrada aumenta o coeficiente de $ x^{2} $:
x^2
Isso ocorre porque, em cada passo, adicionamos mais $ x^{2} $ no denominador da raiz, aumentando o coeficiente proporcionalmente ao número de composições.

Passo 5

Portanto, a composição de $ f $ consigo mesma $ n $ vezes resulta em:
f

Resposta

A composição $ n $ vezes da função $ f(x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} $ resulta em:
n

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