Let
, then
is :
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir qual é a função resultante de aplicar a função $ f(x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} $ repetidamente, $ n $ vezes. A matéria envolvida aqui é principalmente sobre funções compostas e repetição de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como compor funções e identificar um padrão que se repete a cada aplicação de $ f $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa compor uma função consigo mesma. Compor $ f $ duas vezes, por exemplo, é calcular $ f(f(x)) $. Então, nossa meta é generalizar isso para $ n $ composições, ou seja, $ f \circ f \circ f \circ ··· $ $ n $ vezes.
Passo 3
Vamos começar calculando as primeiras composições para identificar um padrão:
-
Primeira composição ($ n = 1 $):
n = 1 -
Segunda composição ($ n = 2 $):
f^1(x) = f(x) = xraiz1 + x^2 Simplificando o denominador:n = 2 Então:f^2(x) = f(f(x)) = f(xraiz1 + x^2) = xraiz1 + x^2raiz1 + (xraiz1 + x^2)^2
Passo 4
Continuando esse processo, percebemos que a cada nova composição, o denominador dentro da raiz quadrada aumenta o coeficiente de $ x^{2} $:
Isso ocorre porque, em cada passo, adicionamos mais $ x^{2} $ no denominador da raiz, aumentando o coeficiente proporcionalmente ao número de composições.
Passo 5
Portanto, a composição de $ f $ consigo mesma $ n $ vezes resulta em:
Resposta
A composição $ n $ vezes da função $ f(x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} $ resulta em: