Resolva as seguintes equações diferenciais não lineares e dê a solução na forma explicita (quando for possível)
y^prime=e^x-y.

Passo 1

A gente tem a equação diferencial não linear y'=e^x-y. O conteúdo é separação de variáveis em ODE de primeira ordem, e vamos usar esse método para chegar à solução explícita.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a derivada de forma separável:
dydx=e^x-y=e^x,e^-y

Passo 3

A ideia da separação de variáveis é juntar todos os termos com y (e dy) de um lado e todos os termos com x (e dx) do outro. Multiplicando ambos os lados por e^y,dx, obtemos
e^y,dy=e^x,dx

Passo 4

Agora, integramos cada lado separadamente:
integral e^y,dy=integral e^x,dx

Passo 5

Da integração resulta
e^y=e^x+C

Passo 6

Por fim, isolamos y aplicando o logaritmo natural:
y=lnl(e^x+Cr)

Resposta

y=ln(e^x+C)

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