4.No MHS, a aceleração é máxima quando:
a) A velocidade é máxima.
b) O deslocamento é zero.
O deslocamento é máximo (amplitude).
d) A energia cinética é nula

Passo 1

O enunciado pergunta: “No MHS, a aceleração é máxima quando:” e fornece opções. Vou listar claramente as alternativas que vieram no enunciado:
  • a) A velocidade é máxima.
  • b) O deslocamento é zero.
  • c) O deslocamento é máximo (amplitude).
  • d) A energia cinética é nula.
O objetivo é indicar qual dessas afirmativas é a correta.

Passo 2

Vamos escrever a expressão padrão do deslocamento em um Movimento Harmônico Simples (MHS). A forma mais comum é
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • \,x(t)\, é o deslocamento em função do tempo;
  • \,A\, é a amplitude (o deslocamento máximo, positivo por convenção);
  • \,\omega\, é a frequência angular (em rad/s), relacionada ao período por \,T=\dfrac{2\pi}{\omega}\,;
  • \,\varphi\, é a fase inicial (constante).
    Isso é apenas a definição do MHS que vamos usar para derivar velocidade e aceleração.

Passo 3

Agora calculemos a velocidade como derivada do deslocamento. Derivando \,x(t)\, em relação a t:
v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl[A\cos(\omega t+\varphi)\bigr]=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
Aqui:
  • \,v(t)\, é a velocidade instantânea;
  • a derivada de \cos é -\sin e aparece o fator \omega por regra da cadeia.
Em seguida, a aceleração é a derivada da velocidade (segunda derivada de x):
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi).
Note que isso pode ser reescrito usando x(t):
a(t)=-\omega^2 x(t).

Passo 4

Interprete a relação \,a(t)=-\omega^2 x(t)\,. Essa equação diz duas coisas importantes:
  • O sinal de a é oposto ao de x: a aceleração aponta para o ponto de equilíbrio (força restauradora).
  • A magnitude da aceleração é
|a(t)|=\omega^2|x(t)|.
Portanto a aceleração em módulo é proporcional ao deslocamento em módulo. Isso implica que |a| atinge seu valor máximo exatamente quando |x| atinge seu valor máximo.
Como |x| máxima é a amplitude \,A, temos o valor máximo da aceleração em módulo:
|a|_{\max}=\omega^2 A,
ocorrendo quando x=\pm A. Logo, a aceleração é máxima quando o deslocamento é máximo (amplitude).

Passo 5

Vamos verificar as outras alternativas para confirmar que são falsas ou, no caso, equivalentes:
  • a) “A velocidade é máxima.” — falso: quando x=0 (passa pelo equilíbrio) a velocidade em módulo é máxima; mas aí, por \,a(t)=-\omega^2 x(t)\,, temos a=0. Logo aceleração é zero quando velocidade é máxima, não máxima.
  • b) “O deslocamento é zero.” — falso: como mostrado, x=0 implica a=0, então aceleração é nula, não máxima.
  • d) “A energia cinética é nula.” — na amplitude a velocidade é zero, logo a energia cinética K=\dfrac{1}{2}mv^2 é realmente zero. Assim, a afirmação d) é verdadeira numericamente no instante em que a aceleração em módulo é máxima. No entanto, entre as alternativas a mais direta e usualmente esperada como resposta única está c): a aceleração é máxima quando o deslocamento é máximo. A opção d) é uma consequência equivalente (KE nula) mas normalmente a resposta mais direta ao enunciado é c).

Passo 6

Resumo físico simples e motivador: em MHS, força (e portanto aceleração) é proporcional ao deslocamento e aponta para o equilíbrio. Quanto maior o deslocamento (na amplitude), maior a aceleração que “puxa” a massa de volta. Nesse instante a velocidade é zero e a energia cinética é nula; no centro ( x=0) ocorre o oposto: aceleração zero e velocidade (e energia cinética) máximas.

Resposta

c) O deslocamento é máximo (amplitude).

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