Let u=x-1, d v=sin pi x d x Rightarrow d u=d x, v=-1pi cos pi x. Então, pela Equação 2,
integral(x-1) sin pi x d x & =-1pi(x-1) cos pi x-integral-1pi cos pi x d x=-1pi(x-1) cos pi x+1pi integral cos pi x d x & =-1pi(x-1) cos pi x+1pi^2 sin pi x+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral (x-1),sin(pi x),dx usando integração por partes.

Passo 2

Escolhemos as funções para a fórmula integral u,dv = u v - integral v,du:
Definimos u = x-1 e dv = sin(pi x),dx.
Então calculamos suas diferenciais e antiderivadas:
du = dx, v = integral sin(pi x),dx = -1picos(pi x)

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes temos:
integral (x-1)sin(pi x),dx = u,v - integral v,du = -1pi(x-1)cos(pi x) - integral l(-1picos(pi x)r)dx

Passo 4

Simplificamos o segundo termo:
-integral l(-1picos(pi x)r)dx = +1pi integral cos(pi x),dx

Passo 5

Calculamos a integral restante:
integral cos(pi x),dx = 1pisin(pi x) + C
Substituindo de volta, obtemos o resultado final.
Juntando tudo, a resposta é: -tfrac1pi(x-1)cos(pi x) + tfrac1pi^2sin(pi x) + C.

Resposta

-\frac{1}{\pi}(x-1)\cos(\pi x) + \frac{1}{\pi^2}\sin(\pi x) + C

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