Vamos demonstrar a expressão geral para o volume de um cone circular de altura h e raio da base R.
Calculando a integral, verifique que V=pi R^2 h3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume de um cone circular de altura h e raio da base R usando integração. O conteúdo da matéria é o método de seções transversais (discos), e vamos precisar relacionar o raio de cada disco com a altura via semelhança de triângulos e depois aplicar a integral definida para somar infinitesimais de área.

Passo 2

Para montar a integral, escolhemos um sistema de coordenadas: tomamos o vértice do cone em y=0 e a base em y=h. Em uma altura genérica y, a seção transversal é um círculo de raio r(y). Pela semelhança de triângulos temos
r(y)y = Rh Longrightarrow r(y) = Rh,y
A área desse disco em y é
$$
A(y) = \pi\bigl(r(y)\bigr)^2 = \pi\left(\frac{R}{h},y\right)^2 = \pi\frac{R2}{h2},y^2$$

Passo 3

Agora usamos a definição de volume por seções transversais: somamos infinitesimais de volume dV = A(y),dy de y=0 até y=h. Assim a integral fica
$$
V = \int_{0}^{h} A(y),dy = \int_{0}^{h} \pi\frac{R2}{h2},y^2,dy V = integral0^h A(y),dy = integral0^h piR^2h^2,y^2,dy
V = \pi\frac{R2}{h2} \int_{0}^{h} y^2,dy = \pi\frac{R2}{h2} \cdot \left[\frac{y3}{3}\right]_{0}{h} = \pi\frac{R2}{h2} \cdot \frac{h^3}{3} V = piR^2h^2 integral0^h y^2,dy = piR^2h^2 cdot [y^33]0^h = piR^2h^2 cdot h^33ã
V = \frac{\pi R^2 h}{3}$$

Resposta

V = pi R^2 h3

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