Vamos demonstrar a expressão geral para o volume de um cone circular de altura
e raio da base
.
Calculando a integral, verifique que
.
Calculando a integral, verifique que
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume de um cone circular de altura
e raio da base
usando integração. O conteúdo da matéria é o método de seções transversais (discos), e vamos precisar relacionar o raio de cada disco com a altura via semelhança de triângulos e depois aplicar a integral definida para somar infinitesimais de área.
Passo 2
Para montar a integral, escolhemos um sistema de coordenadas: tomamos o vértice do cone em
e a base em
. Em uma altura genérica
, a seção transversal é um círculo de raio
. Pela semelhança de triângulos temos
A área desse disco em
$$
A(y) = \pi\bigl(r(y)\bigr)^2 = \pi\left(\frac{R}{h},y\right)^2 = \pi\frac{R2}{h2},y^2$$
Passo 3
Agora usamos a definição de volume por seções transversais: somamos infinitesimais de volume
de
até
. Assim a integral fica
$$
V = \int_{0}^{h} A(y),dy = \int_{0}^{h} \pi\frac{R2}{h2},y^2,dy
V = \pi\frac{R2}{h2} \int_{0}^{h} y^2,dy = \pi\frac{R2}{h2} \cdot \left[\frac{y3}{3}\right]_{0}{h} = \pi\frac{R2}{h2} \cdot \frac{h^3}{3}
V = \frac{\pi R^2 h}{3}$$