Let X be a normal random variable with the probability density density
f_{X}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}
for x \in \mathbb{R} with the parameters \mu, \sigma^{2}>0. Use the maximum likelihood method and the measurements x_{1}, \ldots, x_{n} to obtain estimates for the parameters \mu and \sigma^{2}.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos uma amostra independente x_{1},\dots,x_{n} de uma variável X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2}). O objetivo é usar o método da máxima verossimilhança para estimar os parâmetros \mu e \sigma^{2}. Para isso, vamos escrever a função de verossimilhança, tomar o logaritmo, derivar em relação a cada parâmetro e igualar a zero.

Passo 2

A função de verossimilhança é
L(\mu,\sigma) =\prod_{i=1}^{n}f_X(x_i) =\Bigl(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\Bigr)^{n} \exp\!\Bigl(-\frac{1}{2\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)^{2}\Bigr).

Passo 3

O logaritmo da verossimilhança vale
\ell(\mu,\sigma) =\ln L(\mu,\sigma) =-\,n\ln(\sigma) -\frac{n}{2}\ln(2\pi) -\frac{1}{2\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)^{2}.

Passo 4

Derivando \ell em relação a \mu e igualando a zero, temos
\frac{\partial \ell}{\partial \mu} =\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu) \;\Longrightarrow\; \sum_{i=1}^{n}x_{i}-n\mu=0 \;\Longrightarrow\; \hat\mu=\bar x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}.

Passo 5

Derivando \ell em relação a \sigma e igualando a zero, obtemos
\frac{\partial \ell}{\partial \sigma} =-\frac{n}{\sigma}+\frac{1}{\sigma^{3}}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)^{2} \;\Longrightarrow\; -\frac{n}{\sigma}+\frac{1}{\sigma^{3}}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\hat\mu)^{2}=0
que leva a
\hat\sigma^{2} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\hat\mu)^{2}.

Resposta

\displaystyle \hat\mu = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i},\qquad \hat\sigma^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar x)^{2}.

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