A ticket inspector spends a whole day checking passengers’ tickets on different bus routes. He keeps checking until he finds a passenger without a valid ticket. After issuing a ticket, he collects a fare from the passenger and, after a break, starts a new check. The following numbers show how many passengers were checked in 10 such “checks” until a passenger without a valid ticket was found:
\begin{array}{llllllllll} 42 & 50 & 40 & 64 & 30 & 36 & 68 & 42 & 46 & 48 \end{array}
If the random variable X describes the number of people “checked” until a passenger without a valid ticket is found, then
P(X=x ; \theta)=(1-\theta)^{x-1} \cdot \theta
where \theta \cdot 100 \% can be interpreted as the percentage of passengers without a valid ticket out of all passengers. Determine an estimate for the parameter \theta using the maximum likelihood method.

Passo 1

O enunciado afirma que o número de passageiros verificados até encontrar um sem bilhete válido segue uma distribuição geométrica com parâmetro \theta, onde
P(X = x; \theta) = (1-\theta)^{x-1}\,\theta.
Aqui \theta é a probabilidade de um passageiro não ter bilhete. Temos n=10 observações
42,\;50,\;40,\;64,\;30,\;36,\;68,\;42,\;46,\;48,
e vamos usar o método de máxima verossimilhança para estimar \theta.

Passo 2

Escrevemos a função verossimilhança para as n observações x_1,\dots,x_n:
L(\theta) = \prod_{i=1}^{n}(1-\theta)^{x_i-1}\,\theta = (1-\theta)^{\sum_{i=1}^n x_i - n}\,\theta^n.
Tomando logaritmo, obtemos
\ell(\theta) = \ln L(\theta) = \bigl(\sum_{i=1}^n x_i - n\bigr)\ln(1-\theta) + n\ln\theta.

Passo 3

Derivamos em relação a \theta e igualamos a zero:
\frac{d\ell}{d\theta} = -\frac{\sum_{i=1}^n x_i - n}{1-\theta} + \frac{n}{\theta} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{n}{\theta} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i - n}{1-\theta}.
Reorganizando,
n(1-\theta) = \theta\bigl(\sum_{i=1}^n x_i - n\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \theta = \frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}.

Passo 4

Calculamos a soma dos dados:
\sum_{i=1}^{10} x_i = 42 + 50 + 40 + 64 + 30 + 36 + 68 + 42 + 46 + 48 = 466.
Logo a estimativa de máxima verossimilhança é
\hat\theta = \frac{10}{466} \approx 0,02146.

Resposta

\displaystyle \hat\theta = \frac{10}{466}\approx0,02146 (aproximadamente 2{,}15\%).

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