A ticket inspector spends a whole day checking passengers’ tickets on different bus routes. He keeps checking until he finds a passenger without a valid ticket. After issuing a ticket, he collects a fare from the passenger and, after a break, starts a new check. The following numbers show how many passengers were checked in 10 such “checks” until a passenger without a valid ticket was found:
If the random variable
describes the number of people “checked” until a passenger without a valid ticket is found, then
where
can be interpreted as the percentage of passengers without a valid ticket out of all passengers. Determine an estimate for the parameter
using the maximum likelihood method.
Passo 1
O enunciado afirma que o número de passageiros verificados até encontrar um sem bilhete válido segue uma distribuição geométrica com parâmetro
, onde
Aqui
é a probabilidade de um passageiro não ter bilhete. Temos
observações
e vamos usar o método de máxima verossimilhança para estimar
.
Passo 2
Escrevemos a função verossimilhança para as
observações
:
Tomando logaritmo, obtemos
Passo 3
Derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Reorganizando,
Passo 4
Calculamos a soma dos dados:
Logo a estimativa de máxima verossimilhança é