Let X be a Poisson random variable with the probability mass function
p_{X}(x)=P(X=x)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x!}
for x=0,1,2, \ldots with the parameter \mu>0. Use the maximum likelihood method and the measurements x_{1}, \ldots, x_{n} to obtain an estimate for the parameter \mu.

Passo 1

O enunciado nos dá observações independentes x_{1},\dots,x_{n} de uma variável aleatória X\sim\mathrm{Poisson}(\mu) e pede o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro \mu. Para isso, vamos (i) escrever a função de verossimilhança, (ii) tomar o logaritmo, (iii) derivar em relação a \mu e igualar a zero, e (iv) checar que é um máximo.

Passo 2

A função de verossimilhança é
L(\mu) =\prod_{i=1}^n P(X=x_i) =\prod_{i=1}^n \frac{\mu^{x_i}e^{-\mu}}{x_i!} =\frac{\mu^{\sum_{i=1}^n x_i}\,e^{-n\mu}}{\prod_{i=1}^n x_i!}.

Passo 3

O logaritmo da verossimilhança é
\ell(\mu) =\ln L(\mu) =\sum_{i=1}^n x_i\ln\mu - n\mu - \sum_{i=1}^n \ln\bigl(x_i!\bigr).
Derivando em relação a \mu e igualando a zero:
\frac{d\ell}{d\mu} =\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{\mu}-n \;\overset{!}{=}\;0.

Passo 4

Resolvendo
\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{\mu}=n \quad\Longrightarrow\quad \hat\mu =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.

Passo 5

Para garantir que é um máximo, observamos
\frac{d^2\ell}{d\mu^2} =-\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{\mu^2}<0
para \mu>0, confirmando um ponto de máximo.

Resposta

\displaystyle \hat\mu_{\mathrm{MLE}} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.

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