8.4 Let
be an
-periodic sequence. Determine whether each sequence
given below is periodic.
; and
Passo 1
O enunciado dá que a sequência
é
-periódica. Ou seja, para todo inteiro
vale
A sequência definida é
. A pergunta é: a sequência
é periódica? Se sim, qual(s) período(s) ela tem?
Passo 2
Vou lembrar a definição que preciso usar: uma sequência discreta
é periódica se existe um inteiro positivo
tal que, para todo inteiro
,
O menor inteiro positivo com essa propriedade chama-se período fundamental (ou período mínimo). Se
vale para algum
, então qualquer múltiplo positivo de
também é período.
Passo 3
Calculo
para testar a periodicidade com um passo simples:
Como
é
-periódica, substituo
com
e obtenho
Portanto
Passo 4
A igualdade
para todo
mostra que
se repete a cada passo de unidade, ou seja,
é um período de
. Pelo resultado anterior,
é periódica. Como
para todo
, segue que todos os termos são iguais entre si, então
é uma sequência constante:
Uma sequência constante tem período fundamental igual a
(qualquer inteiro positivo também é período, mas o menor é
).
Passo 5
Um exemplo concreto para fixar a ideia: se
e
é
-periódica com valores
e depois repete, então
assume sempre o valor
. Logo
, que é periódica de período
.
Resposta
A sequência
é periódica; tem período fundamental
(isto é,
para todo
).