8.4 Let x be an N-periodic sequence. Determine whether each sequence y given below is periodic.
y(n)=x(N n); and

Passo 1

O enunciado dá que a sequência x é N-periódica. Ou seja, para todo inteiro k vale
x(k+N)=x(k).
A sequência definida é y(n)=x(N n). A pergunta é: a sequência y é periódica? Se sim, qual(s) período(s) ela tem?

Passo 2

Vou lembrar a definição que preciso usar: uma sequência discreta z(n) é periódica se existe um inteiro positivo P tal que, para todo inteiro n,
z(n+P)=z(n).
O menor inteiro positivo com essa propriedade chama-se período fundamental (ou período mínimo). Se z(n+P)=z(n) vale para algum P, então qualquer múltiplo positivo de P também é período.

Passo 3

Calculo y(n+1) para testar a periodicidade com um passo simples:
y(n+1)=x\bigl(N(n+1)\bigr)=x(Nn+N).
Como x é N-periódica, substituo x(k+N)=x(k) com k= Nn e obtenho
x(Nn+N)=x(Nn).
Portanto
y(n+1)=x(Nn)=y(n)\qquad\text{para todo inteiro }n.

Passo 4

A igualdade y(n+1)=y(n) para todo n mostra que y se repete a cada passo de unidade, ou seja, 1 é um período de y. Pelo resultado anterior, y é periódica. Como y(n+1)=y(n) para todo n, segue que todos os termos são iguais entre si, então y é uma sequência constante:
y(n)=y(0)=x(0)\qquad\text{para todo }n.
Uma sequência constante tem período fundamental igual a 1 (qualquer inteiro positivo também é período, mas o menor é 1).

Passo 5

Um exemplo concreto para fixar a ideia: se N=3 e x é 3-periódica com valores x(0)=a,\\ x(1)=b,\\ x(2)=c e depois repete, então y(n)=x(3n) assume sempre o valor x(0)=a. Logo y=(a,a,a,\dots), que é periódica de período 1.

Resposta

A sequência y é periódica; tem período fundamental 1 (isto é, y(n)=x(0) para todo n).

Exercícios relacionados